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Remoção de descontinuidades (por fatoração)

Neste vídeo, determinamos o valor que a função f(x)=(6x²+18x+12)/(x²-4) deve ter em x=-2 para que ela seja contínua nesse ponto. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - A função f(x) = 6x² + 18x + 12 / x² - 4 não é definida para x = 2 ou x = -2. Realmente, "x = 2", dá 4, menos 4, dá zero. O que indefine esta função. E "x - 2", -2² dá 4 também, -4 dá zero. Ou seja, estes dois valores de "x" indefinem esta função. Ele pergunta qual deve ser o valor atribuído a f(-2) para que a função seja não só definida, mas contínua neste ponto. Vamos primeiro fatorar a função. Nós temos no numerador, podemos colocar em evidência o 6, fica (x² + 3x + 2). Embaixo é o produto da soma pela diferença. Vamos ficar com (x + 2) e (x - 2). Aqui em cima nós temos a soma igual a 3, o produto 2. 2 e 1 satisfaz. Portanto, podemos fatorar este polinômio como (x + 2) vezes (x + 1). Embaixo repetimos (x + 2) vezes (x - 2). Para "x" diferente de -2, ou seja, que não torna isto aqui zero, eu posso simplificar, pois "x" não é igual a -2. Então, eu posso simplificar. Então, a função fica sendo f(x) = 6 (x + 1) / (x - 2). E, neste caso, se eu quiser criar uma função, eu posso dizer que a função f(x) = 6x² + 18x + 12 / x² - 4 para "x" diferente de mais ou menos 2 está ok. Pois eu tirei os dois valores que tornavam esta função não definida. Agora, eu vou atribuir um valor para "x = -2". Ora, para "x = -2", esta função é válida. Nós temos para f(-2) temos 6 vezes (-2 + 1) sobre "x", que é -2, então (-2 - 2). Ou seja, -2 + 1 dá - 1, vezes 6, dá -6. -2 - 2 = -4. Isto aqui dá 3/2. Portanto, se pudermos definir em duas etapas, ou seja, f(x) = 6x² + 18x + 12 / x² - 4, para todos os valores diferentes de 2 e -2. E f(x) ou f(-2) vai ser igual a 3/2 para "x = -2". Então, conseguimos atribuir um valor para f(-2). Com isso, a função está, não só definida, como contínua neste ponto -2.