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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 1
Lição 13: Como remover descontinuidadesRemoção de descontinuidades (por racionalização)
Neste vídeo, determinamos o valor que a função f(x)=(√(x+4)-3)/(x-5) deve ter em x=5 para que ela seja contínua nesse ponto. Versão original criada por Sal Khan.
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- Um gráfico deixaria bem mais claro.(3 votos)
- Quando é uma expressão desse modelo eu deduzo rapidamente, pois a = raiz de x+4 e b = 3 , logo diferença de quadrados elimina a raiz. Porém, como proceder no caso de uma expressão com mais termos e que possua raiz? Por exemplo, limite de ( raiz de x +3) + x -1/ x-1 quando x tende a 1 ? Não consegui desenvolvê-la por esse método(1 voto)
- i put these functions on the graph but not looks like the solution. Anyone can explain to me?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA14C "Seja f uma função dada por..." Aqui nós temos uma função f(x),
sendo igual a: √x+4 - 3
sobre x - 5 se x ≠ 5. Essa função f(x) vai ser
igual a c se x = 5. Se f é contínua para x = 5, qual é o valor de c? Bem, o que nós temos aqui
é um caso em que precisamos determinar esse valor de c,
quando x = 5, para que essa função f
seja contínua para esse x = 5. A primeira pergunta que
nós precisamos fazer aqui é: qual é a condição necessária para que essa função
seja contínua quando x = 5? A condição necessária para
uma função ser contínua é quando o limite, com x tendendo a um número, que, neste caso, é 5, dessa função f(x) for igual à função f(x)
nesse ponto x = 5. Um detalhe interessante
é que essa função, quando x = 5,
é igual a c. Então, nós temos que
essa função f(x), quando x = 5,
é igual a c. Certo? Então, o que nós precisamos fazer
é determinar esse lim f(x) para o x = 5, e que esse limite
vai ser igual a c. Assim, nós vamos encontrar
esse valor de c, para que essa função
seja contínua quando x = 5. Então, vamos lá!
Vamos fazer isso. Vamos calcular esse limite com x tendo a 5 para o f(x). Bem, como é o x tendendo a 5, ou seja, não é igual a 5, a gente vai usar essa expressão
aqui de cima, e calcular o limite dessa função. Afinal de contas, essa função
é igual a essa expressão quando x ≠ 5. Agora, nós só temos
um pequeno problema aqui. Nós poderíamos substituir
o 5 aqui no lugar do x, e tentar resolver. Mas vamos ter aqui uma √5+4... 5 + 4 = 9. √9 = 3. 3 - 3 = 0. Se eu substituir o 5
aqui embaixo, eu vou ter 5 - 5
no denominador. 5 - 5 = 0. Então, eu vou ter 0/0,
que é uma indeterminação. Então, eu não posso substituir
esse valor direto nessa expressão porque a gente chega
a essa indeterminação. Mais à frente, eu vou te mostrar
uma técnica muito interessante, chamada regra de L'Hôpital, que permite que a gente
consiga determinar o limite quando há uma indeterminação
nesse caso de uma forma muito fácil, de uma forma muito mais rápida e prática. Mas, neste vídeo, quero te mostrar
como você pode encontrar esse limite, no caso de uma indeterminação,
utilizando uma álgebra mais clássica, uma álgebra do ensino médio. Então, vamos lá. A primeira coisa que
precisamos fazer aqui é encontrar uma forma de
tirar essa indeterminação, fazer essa expressão
se tornar determinada. Para fazer isso, vou repetir a expressão. Vamos ter aqui: √x+4 - 3, isso sobre x - 5, certo? O que nós podemos fazer aqui
é encontrar uma forma de racionalizar isso. E uma forma interessante
de racionalizar isso é observar esta expressão aqui, e perceber que temos
uma diferença, certo? O que poderíamos fazer, então, é multiplicar aqui em cima
no numerador por algo muito parecido com isso. Colocando essa √x+4, só que em vez de colocar -3,
colocar +3. Então, eu multiplico isso por √x+4... Em vez de -3, +3. Como multiplicamos por
esta expressão aqui, para toda a expressão
continuar sendo a mesma, precisamos também multiplicar
por isto aqui no denominador. Então, a gente vem aqui
e coloca: √x+4 + 3. Vamos colocar esses parênteses aqui, só para deixar tudo mais organizado. Agora, podemos multiplicar
esta primeira parte aqui por esta outra aqui em cima. Todas as vezes em que temos
uma multiplicação dessa forma, com os termos sendo iguais, porém, tendo uma diferença aqui
e tendo uma soma aqui, isso aqui ficaria igual a este primeiro termo
elevado ao quadrado, ou seja, (√x+4)². (√x+4)² = x + 4. E colocamos menos
o segundo termo ao quadrado. Então, (-3)². (-3)² = 9. Então, estamos começando a utilizar uma técnica de racionalização para
conseguir resolver esse limite. Vamos repetir a parte que
está aqui no denominador. Temos aqui: (x - 5) vezes (√x+4 + 3). OK, podemos resolver
esta parte de cima, certo? x + 4 - 9... 4 - 9 = -5. Então, vamos ter x - 5 sobre tudo isso que
já está embaixo ali: (x - 5) vezes (√x + 4 + 3). Como temos aqui
no numerador x - 5 e aqui no denominador também,
podemos anular esses dois, afinal de contas, este dividido
por este é igual a 1, certo? Então, vamos ter aqui
algo igual a 1 sobre toda esta parte aqui, √x+4 + 3. Isso, claro, para x ≠ 5. Então, toda esta expressão
é a mesma coisa que isto aqui. A única diferença é que utilizamos
uma técnica de racionalização para mudar esses termos e deixar o limite
possível de ser resolvido. Ou seja, tirar essa indeterminação daqui. Tanto que, se substituirmos
agora aquilo por 5, vamos ter: √5+4 + 3, e isso não vai ser
algo indeterminado. Vamos fazer isso, vamos substituir
esta expressão aqui por essa expressão
que acabamos de encontrar: 1 / √x+4 + 3. Vamos fazer isso. Vamos calcular o limite dessa função
utilizando essa nova expressão. Então, vamos ter
lim x → 5 de 1 / √x+4 + 3. Isso vai ser igual... Como eu já disse,
substituindo o 5 aqui, vamos ter √5+4. 5 + 4 = 9. √9 = 3. Somando este 3 com este 3,
teremos 6. Ou seja, o limite dessa função
quando x → 5 vai ser igual a 1/6. Esse é o valor de c. Então, para que a função
seja contínua quando x = 5, é necessário que c = 1/6.