Análise de limites infinitos: função mista

[RKA20C] Nós temos aqui uma função f(x) definida por x / 1 - cos(x - 2). E temos que selecionar a descrição correta dos limites laterais de f em x = 2. Vamos começar analisando f quando x = 2 para verificar como ela se comporta. Temos f(2) = 2 / 1 - cos(2 - 2). Mas, 2 - 2 = 0, cos(0) = 1, e 1 - 1, aqui no denominador, dá 0, ou seja, o f não é definido em x = 2. É justamente por esse motivo que eu estou interessado nos limites laterais quando x tende a 2. Há muitas maneiras de verificarmos os limites laterais para x tendendo a 2, e sugiro que você pause o vídeo e, por exemplo, com a ajuda de uma calculadora e de propriedades da função cosseno, chegue a uma conclusão a respeito. Sugiro também que você use uma tabela como já fizemos em outros exemplos anteriores. Vamos começar analisando com x tendendo a 2 pela direita, ou seja, por valores > 2. Vou montar aqui uma tabela: aqui x, aqui f(x). O x, por exemplo, sendo 2,1 depois, 2,01. Se o x for 2,1, vou ter aqui na função 2,1 / 1 - cos(2,1 - 2), que é 0,1. Não sei o valor do cos(0,1) sem uma calculadora, mas sei que cos(0) = 1. Então, cos(0,1) é um valor muito próximo de 1. Lembre-se de que o cosseno de um ângulo nunca é maior que 1. Lembre-se de que o cosseno de um valor x é sempre algo entre -1 e 1. Então, voltando aqui: cos(0,1) é um valor que se aproxima de 1, porém não é > 1, é < 1. Essa é uma boa dica para explorar toda esta situação aqui. Agora, na segunda linha, se o x = 2,01, f(x) = 2,01 / 1 - cos(0,01). E podemos deduzir que cos(0,01) está ainda mais perto de 1. Lembre-se, de novo, que cos(x) é um valor entre -1 e 1. Então, se x vai se aproximando de 2, esse valor vai se aproximando cada vez mais do 1. Este cosseno se aproxima do 1 por baixo, por valores < 1 até chegar bem próximo de 1. Já podemos chegar a algumas conclusões: conforme o x vai se aproximando de 2 pela direita, este denominador vai se aproximando de 0, mas é sempre um valor positivo. E o numerador está assumindo também valores positivos, já que é o próprio x. E nós estamos usando valores um pouco maiores que 2 para o x, portanto, positivos, também. Podemos observar que o cosseno aqui, no exemplo de baixo, está mais próximo de 1 que o do exemplo de cima. O que podemos verificar é que o limite vai ser ilimitado no sentido positivo. Ou seja, em princípio, temos estas duas possibilidades de escolha como corretas. Vamos agora analisar o que acontece quando x tende a 2 pela esquerda, ou seja, com valores < 2, mas chegando cada vez mais próximos a 2. Na tabela, aqui temos x, aqui temos f(x)... Mais uma vez, eu não tenho uma calculadora aqui comigo, mas vamos usar as propriedades e os nossos conhecimentos para chegar a uma conclusão. Assim como fizemos na tabela anterior, que, quando x tende a 2 pela direita, vamos tendo, no resultado da expressão, valores cada vez maiores, positivos e cada vez maiores. Vamos, na nossa nova tabela, supor que x = 1,9, e, depois, x = 1,99. Quando x = 1,9, f(x) = 1,9 / 1 - cos(1,9 - 2), ou seja, -0,1. Na segunda linha, já que o x está sendo colocado como 1,99, vamos ter f(x) = 1,99 / 1 - cos(1,99 - 2), que é -0,01. Já sabemos que cos(-0,1) tem o mesmo valor que cos(+0,1), ou seja, é um valor próximo de 1, porém < 1. Da mesma forma, cos(-0,01) tem o mesmo valor de cos(0,01), que se aproxima de +1. Porém, se aproxima de 1 por baixo, é < 1. Então, este resultado vai ser igual ao outro resultado ali. Este também vai ser igual ao outro, de maneira que, quando x tende a 2 pela esquerda, a função tende ao ꚙ positivo também. Então, a escolha correta aqui é esta primeira: nesta função, quando x tende a 2 pela direita ou pela esquerda, f tende a +ꚙ. Outra maneira de analisar é verificar que, se x tende a 2, o numerador vai ser evidentemente positivo, porque 2 é positivo. Aqui no denominador, conforme x se aproxima de 2... Lembrando que o cosseno de um valor pode se aproximar a 1, mas nunca ser maior que 1, então, esta parte é um número < 1. E, no denominador, vamos ter 1 menos alguma coisa < 1. Portanto, um resultado positivo. Evidentemente, positivo dividido por positivo resulta em positivo. Enfim, conforme o x, que é o numerador, vai se aproximando de 2, o denominador vai ficando cada vez mais próximo de 0, portanto, cada vez menor. O resultado dessa divisão, portanto, tende ao ꚙ, é ilimitado no +ꚙ, e isso é exatamente o que temos aqui, na primeira alternativa. Até o próximo vídeo!