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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 1
Lição 15: Como conectar limites no infinito e assíntotas horizontais- Introdução a limites no infinito
- Funções com o mesmo limite no infinito
- Limites no infinito: gráfico
- Limites no infinito de funções racionais (Parte 1)
- Limites no infinito de funções racionais (Parte 2)
- Limites no infinito de funções racionais
- Limites no infinito de funções racionais com raízes quadradas (potência ímpar)
- Limites no infinito de funções racionais com raízes quadradas (potência par)
- Limites no infinito de funções racionais com raízes quadradas
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Limites no infinito de funções racionais com raízes quadradas (potência ímpar)
Neste vídeo, encontramos os limites de x/√(x²+1) nos infinitos positivo e negativo. Como o termo principal é elevado a uma potência ímpar (1), os limites nos infinitos positivo e negativo são diferentes. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Vamos fazer o esboço de uma função do tipo
f(x) igual a x sobre raiz quadrada de (x² mais 1). x² mais 1 é sempre um número maior ou igual a 1. Vejamos, quando x subir muito de valor, um número positivo,
essa raiz vai ser positiva; se ele for muito negativo,
ao quadrado fica um número positivo, ou seja, o menor valor absoluto que x pode assumir é zero,
o que vai dar raiz quadrada de 1. Portanto essa função está definida. Agora vamos definir os limites, o limite para quando x tender a mais infinito
e o limite quando x tender a menos infinito. Quando x tender a mais infinito,
ele ao quadrado somado com 1, este 1 não vai fazer muita diferença. Portanto a gente pode escrever essa função como sendo
x sobre raiz quadrada de x². Por definição, raiz quadrada de x² é o módulo de x. Se x for negativo,
ele ao quadrado vira um número positivo. Tirando a raiz quadrada,
ele tem um valor absoluto de x. Portanto quem vai dar o sinal
vai ser x que está no numerador. Se tender a mais infinito, esse cara é positivo,
esse daqui também positivo, que é o módulo, portanto ele vai tender ao mesmo número e você vai poder simplificar
e vai dar 1 quando x tender a mais infinito. Quando x tender a menos infinito, como o sinal do x aqui de cima é negativo,
o módulo x vai ser positivo, ou seja, então ele vai tender a -1. Portanto já podemos desenhar duas assíntotas horizontais,
onde o nosso x vai tender... Ele vai tender a mais 1 quando x tender a infinito e vai tender a -1 quando x tender a menos infinito. Então vamos traçar aqui as assíntotas. As duas assíntotas horizontais. Então já sabemos que o nosso x vai tender a -1
quando x tender a menos infinito e vai tender a mais 1 quando x tender a mais infinito. Vamos pegar um valor qualquer de x,
vamos colocar f(0). No f(0) vamos ter zero sobre a raiz quadrada de 0² mais 1,
o que vai dar zero, ou seja, então ele passa no ponto (0,0). Então a nossa função vai ter um esboço desta forma aqui. Se tiver uma calculadora que trace o gráfico,
você pode verificar. Você coloca a expressão que vai estudar
e manda a calculadora desenhar o gráfico. Realmente, pelo gráfico, nós estamos vendo que
se x tende a menos infinito, ela vai tender a -1. Passa pelo ponto (0,0) e depois quando x tende a mais infinito,
ela vai tender a mais 1. A chave dessa questão é você verificar o sinal da função
quando ela tende a mais e a menos infinito. Nesse caso aqui, como embaixo nós temos módulo,
aqui embaixo sempre vai ser positivo e aqui em cima, quando x tender a mais infinito,
ela vai ser positiva, ou seja, vai tender a 1, na realidade,
porque x vai ficar simplificado com x, então vai tender a 1 e quando x for tendendo a menos infinito, ela vai ficar negativa pois o numerador é negativo e o denominador sempre é positivo
porque é o módulo de x. Portanto ela tende a -1 passando pelo ponto zero. Então esse é esboço do nosso gráfico da função f(x).