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Limites no infinito de funções racionais (Parte 2)

Neste vídeo, analisamos os limites no infinito de três funções racionais diferentes. Descobrimos que existem três casos gerais para como os limites se comportam. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA22JL - Vamos analisar mais algumas situações de limite com o "x" tendendo a infinito ou menos infinito. Tenho aqui um primeiro exemplo do limite com “x” tendendo a infinito desta expressão maluca: 9x⁷ menos 17x⁶ mais 15 raiz quadrada de x, sobre 3x⁷ mais 1.000x⁵ log₂ˣ. Já que estamos estudando limites no infinito, a chave, como já vimos antes, é verificar que termos dominam os demais no numerador e no denominador. Por exemplo, aqui no numerador 9x⁷, vai crescer muito mais rápido do que os outros dois termos. Então, este é o termo dominante. Da mesma forma, no denominador, 3x⁷ é o termo dominador, ele vai crescer muito mais rápido que os outros dois, que são x⁵ e log₂ˣ. Então, quando o “x” tende a infinito, quando o “x” tem valores muito grandes, esta função pode ser tranquilamente aproximada para 9x⁷ sobre 3x⁷. Então, quando o “x” vai se aproximando do infinito, entre aspas, essas duas expressões se aproximam respectivamente de 9x⁷ e 3x⁷. Então, este limite vai ser igual a este limite aqui, já que podemos simplificar esta expressão, este limite vai ser igual ao limite quando “x” tende a infinito de, simplesmente... x⁷ podemos cancelar e 9/3 sabemos que é exatamente 3, e o limite, quando “x” tende a infinito de 3, é exatamente 3. E esse é o limite com o “x” tendendo ao infinito de toda essa expressão maluca. Vamos fazer a mesma coisa com esta outra função. Temos aqui expressões malucas. O “x” tendendo a menos infinito, mas o mesmo princípio se aplica. Em cada expressão, vamos verificar qual dos termos domina, em termos de valor absoluto, em relação aos demais, pensando em valores absolutos, ou seja, quanto maior a magnitude de “x”, qual dos termos domina em cada uma das expressões. No numerador, domina o 3x³ e, no denominador, os 6x⁴. Então, quando o “x” for um número tendendo a menos infinito, isso tudo será a mesma coisa que o limite, com “x” tendendo a menos infinito, de 3x³ sobre 6x⁴. Simplificando essa expressão, estamos falando do limite com “x” tendendo a menos infinito de 1 sobre 2x. E o que isso vai nos dar? Se o “x” fosse um número muito, muito, muito grande, tendendo a infinito, o denominador desta expressão também vai para infinito e teremos 1 sobre infinito, o que tende a zero, ou seja, 1 dividido por um número muito grande resulta num valor tão pequeno que tende a zero. Por outro lado, se o “x” for tendendo a menos infinito, este mesmo raciocínio se aplica já que, mesmo sendo negativo, se o módulo de “x” é muito grande, teremos 1 dividido por um número muito negativo, entre aspas, e o resultado é um valor próximo de zero, ou seja, tende a zero. Neste caso, temos uma assíntota horizontal em “y” igual a zero. Sugiro que você construa um gráfico para esta função e tente observar isso sozinho. A ideia principal aqui é simplificar o problema observando que termos vão dominar o resto tanto no numerador quanto no denominador. Vamos para esta terceira. Qual é o limite da função definida por esta expressão quando “x” tende a infinito? Vamos analisar novamente no numerador e no denominador quais são os termos dominantes. O numerador é uma expressão polinomial e o termo de maior grau é o 4x⁴, do mesmo jeito, no denominador, o 250x³ domina. Então, isso fica equivalente a calcular o limite quando o “x” tende a infinito de 4x⁴ sobre 250x³. Simplificando, x⁴ pelo x³, dá somente “x”, temos o limite de 4 sobre 250x, com “x” tendendo a infinito. Podemos também pensar como 4/250 vezes o limite de “x” quando “x” tende ao infinito. Ora, o limite, quando o “x” tende a infinito de “x”, é o “x” crescendo infinitamente, então, é infinito vezes um outro número. Isso vai ser igual a infinito, entre aspas, ou seja, tende a infinito. Observe que este resultado era esperado ao examinarmos que o numerador é um polinômio de quarto grau enquanto o denominador é um polinômio de terceiro grau. Isso nos permite concluir que o numerador vai crescer de uma maneira muito mais rápida que o denominador quando o “x” tende a infinito. Logo, “x” tendendo a infinito faz com que essa expressão toda também tenda ao infinito. Por outro lado, nesta segunda expressão acontece o contrário. O numerador vai crescendo mais devagar que o denominador. Portanto, o denominador crescendo muito mais rápido faz com que tenhamos um número menor dividido por um número muito maior e, portanto, tendendo a zero no resultado. É isso aí, até o próximo vídeo!