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Teorema do valor intermediário

Introdução ao teorema do valor intermediário. Se f é uma função contínua no intervalo [a,b], então ela assume todos os valores entre f(a) e f(b) nesse intervalo.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - O que vamos abordar neste vídeo é o teorema do valor intermediário, que, apesar desta linguagem matemática rebuscada, é um dos teoremas mais intuitivos (se não for o mais intuitivo) que você vai encontrar na sua carreira matemática. Vamos fazer a leitura do enunciado do teorema e verificar o quão intuitivo ele é. Não vamos demonstrar este teorema aqui, mas vamos procurar entender, de fato, o que ele significa e a relação com este enunciado rebuscado. Suponha "f" como uma função contínua em todos os pontos do intervalo [a, b] fechado. Vamos começar analisando o que quer dizer isto: "suponha 'f' uma função contínua em todo o intervalo fechado [a, b]." Representando aqui os eixos, este é o eixo "y", este é o eixo "x". Uma situação é que tenhamos aqui um certo valor "a", aqui temos "b", "f" é contínua em todo o intervalo fechado [a, b]. Portanto, "f" está definida em todos os pontos deste intervalo. E o limite da função, quando "x" tende a um certo ponto deste intervalo, é o próprio valor da função quando "x" assume aquele valor. Então, temos neste ponto o valor de "x" sendo "a" e, portanto, aqui, f(a). Podemos supor, neste ponto, "b" e f(b). Estamos com um valor maior para o f(b), mas isto não precisa ser assim. Agora, a ideia de que a função é contínua neste intervalo [a, b] se traduz de uma maneira mais simples na ideia de que, desenhando o gráfico desta função, eu sou capaz de ligar os dois pontos que estão nos limites do intervalo sem tirar o lápis do papel. Algo como isto. E não poderia desenhar isto porque não é função, mas algo como isto nos dá uma função contínua neste intervalo [a, b]. Se, quando eu fosse desenhar o gráfico, em algum momento eu tirasse o lápis do papel, como aqui, a função já não é contínua para todo o intervalo [a, b]. Nesta outra situação, também tenho que tirar o lápis do papel, então, a função já não é contínua neste intervalo. De novo, nesta situação, eu tiro o lápis do papel. Então, não seria o caso de uma função contínua. Vamos tratar de outros exemplos aqui. "a" e "b" não precisam ser positivos. Neste caso, vou colocar o "a" como negativo e o "b" positivo. Vamos supor que aqui temos f(a) e aqui f(b). Note que, agora, f(a) é maior que f(b). E, se tivermos uma função continua no intervalo [a, b], o gráfico que vai deste ponto até o outro tem que ser desenhado sem que eu tire o lápis do papel. Algo como isto poderia ser um exemplo. Temos aqui, então, dois exemplos de função que são contínuas no intervalo fechado [a, b]. A partir de agora, temos dois caminhos para identificar a conclusão a que nos leva o teorema do valor intermediário. Vamos olhar para esta primeira afirmação: "f" assume todos os valores entre f(a) e f(b) neste intervalo. E você vê aqui, nos dois casos, que todos os valores entre f(a) e f(b) são ordenadas de algum ponto do gráfico. Você pode tomar um valor qualquer arbitrariamente, por exemplo, L aqui. Veja: L é ordenada deste ponto do gráfico. Neste outro exemplo, tomando L aqui, ela é ordenada deste ponto, deste ponto e deste outro ponto do gráfico. Esta segunda afirmação é o que define mais especificamente o teorema do valor intermediário: para qualquer valor L entre os valores de f(a) e f(b), existe um números "c" pertencendo ao intervalo [a, b] para o qual f(c) = L. Veja que, de fato, nos gráficos, podemos identificar pelo menos um "c" que satisfaz essa condição. Aqui teríamos o valor de "c" neste primeiro gráfico. E, neste outro, por exemplo, aqui seria o "c". Mas temos aqui outros candidatos para esse tal valor "c", ou seja, existe pelo menos um valor "c" de modo que f(c) é igual a este L que está entre o f(a) e o f(b), sendo "c" pertencente ao intervalo [a, b]. Podemos corrigir aqui e dizer que existe pelo menos um número, um valor "c", que satisfaz esta condição. Agora, um pequeno desafio: tente desenhar o gráfico de uma função que atende à primeira condição, mas que não atende à segunda. Vamos supor que existe um L, de forma que não há um valor "c" no intervalo [a, b]. O L está entre f(a) e f(b), naturalmente. Vou aqui desenhar os eixos, um pouco maiores agora. Temos aqui: "a", "b", f(a), f(b), temos uma função contínua neste intervalo [a, b], ou seja, o gráfico desta função entre os pontos com abcissas "a" e "b" deve ser desenhado sem que eu tire o lápis do papel. E vamos assumir que existe um L, entre f(a) e f(b), que não se relaciona a nenhum "c" entre "a" e "b". Este seria o L e temos que o gráfico da função nunca vai ter um ponto que se associa a este L. Vamos ver se eu consigo desenhar isto. Vamos ver se eu consigo, partindo deste ponto, alcançar aquele outro ponto sem cruzar esta linha tracejada. Lembrando que eu não posso tirar o lápis do papel. Começo aqui, chego perto, volto, faço assim, quase encostei. Mas, para chegar lá, não teve jeito. Eu atravessei a linha tracejada. Ou seja, ao cruzar a linha tracejada, eu encontrei um valor "c" entre o "a" e o "b", que é a abcissa de L. De novo, lembrando, não estou dando a você uma prova, uma demonstração do teorema do valor intermediário. Mas espero que isto te dê uma boa intuição do que ele significa. O teorema do valor intermediário é um tipo de senso comum. Ou seja, se você tem uma função cujo gráfico, que vai dos pontos (a, f(a)) até (b, f(b)), sem que você tire o lápis do papel, ou seja, estamos tratando de uma função contínua, essa função vai assumir todos os valores entre f(a) e f(b) para "x" entre "a" e "b". Até o próximo vídeo!