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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 1
Lição 2: Como definir limites e usar a notação de limiteIntrodução aos limites
Limites descrevem como uma função se comporta perto de um ponto, e não naquele ponto. Essa ideia simples, porém poderosa, é a base de todo o cálculo.
Para entender o que são limites, vamos examinar um exemplo. Começamos com a função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2.
O limite de f em x, equals, 3 é o valor do qual f se aproxima conforme nos aproximamos cada vez mais de x, equals, 3. Graficamente, este é o valor de y do qual nos aproximamos quando olhamos para o gráfico de f e nos aproximamos cada vez mais do ponto do gráfico em que x, equals, 3.
Por exemplo, se começarmos no ponto left parenthesis, 1, comma, 3, right parenthesis e nos movermos no gráfico até chegarmos realmente perto de x, equals, 3, então nosso valor de y (isto é, o valor da função) se aproximará muito de 5.
Da mesma forma, se começarmos em left parenthesis, 5, comma, 7, right parenthesis e nos movermos para a esquerda até chegarmos realmente perto de x, equals, 3, o valor de y será, novamente, muito próximo de 5.
Por essas razões, dizemos que o limite de f em x, equals, 3 é 5.
Vocês podem estar se perguntando qual é a diferença entre o limite de f em x, equals, 3 e o valor de f em x, equals, 3, ou seja, f, left parenthesis, 3, right parenthesis.
O limite de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 em x, equals, 3 é igual a f, left parenthesis, 3, right parenthesis, mas nem sempre será assim. Para entender isso, vamos examinar a função g. Esta função é igual a f em todos os sentidos, exceto pelo fato de ser indefinida em x, equals, 3.
Assim como f, o limite de g em x, equals, 3 é 5. Isso porque ainda podemos chegar bem perto de x, equals, 3 e os valores da função chegarão bem perto de 5.
Então, o limite de g em x, equals, 3 é igual a 5, mas o valor de g em x, equals, 3 é indefinido! Eles não são iguais!
Essa é a beleza dos limites: eles não dependem do valor real da função no limite. Eles descrevem como a função se comporta quando se aproxima do limite.
Também temos uma notação especial quando falamos de limites. Escrevemos o limite de f conforme x se aproxima de 3 assim:
O símbolo limit significa que estamos calculando um limite de algo.
A expressão à direita de limit é a expressão da qual estamos calculando o limite. Neste caso, é a função f.
A expressão x, \to, 3, que fica abaixo de limit, significa que estamos calculando o limite de f conforme os valores de x se aproximam de 3.
Em limites, queremos chegar infinitamente perto.
O que queremos dizer quando falamos "infinitamente perto"? Vamos examinar os valores de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 conforme os valores de x chegam muito perto de 3 (lembre-se de que, como estamos lidando com limites, não estamos preocupados com o valor de f, left parenthesis, 3, right parenthesis em si).
| x | f, left parenthesis, x, right parenthesis |
|---|---|
| 2, comma, 9 | 4, comma, 9 |
| 2, comma, 99 | 4, comma, 99 |
| start color gray, start underbrace, start color black, 2, comma, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 3, end subscript, end color gray | start color gray, start underbrace, start color black, 4, comma, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 5, end subscript, end color gray |
Podemos ver como, quando os valores de x são menores que 3, mas se aproximam cada vez mais dele, os valores de f se aproximam cada vez mais de 5.
| x | f, left parenthesis, x, right parenthesis |
|---|---|
| 3, comma, 1 | 5, comma, 1 |
| 3, comma, 01 | 5, comma, 01 |
| start color gray, start underbrace, start color black, 3, comma, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 3, end subscript, end color gray | start color gray, start underbrace, start color black, 5, comma, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 5, end subscript, end color gray |
Também podemos ver como, quando os valores de x são maiores que 3, mas se aproximam cada vez mais dele, os valores de f se aproximam cada vez mais de 5.
Observe que o mais próximo que chegamos de 5 foi com f, left parenthesis, 2, comma, 999, right parenthesis, equals, 4, comma, 999 e f, left parenthesis, 3, comma, 001, right parenthesis, equals, 5, comma, 001, que estão a 0, comma, 001 unidade de distância de 5.
Podemos nos aproximar ainda mais se quisermos. Por exemplo, suponha que queiramos estar a 0, comma, 00001 unidade de distância de 5; para isso, escolheríamos x, equals, 3, comma, 00001 e, então, f, left parenthesis, 3, comma, 00001, right parenthesis, equals, 5, comma, 00001.
Isto é interminável. Sempre podemos nos aproximar mais de 5. E é isso exatamente o que significa "infinitamente perto" ! Como é impossível estar "infinitamente perto" na vida real, o que queremos dizer com limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5 é que não importa o quão perto queiramos estar de 5, haverá um valor de x bem próximo de 3 que nos aproximará dele.
Se você acha isso difícil de entender, talvez isso o ajude: como sabemos que existem infinitos números inteiros diferentes? Não é que tenhamos contado todos eles e chegado ao infinito. Sabemos que eles são infinitos porque para qualquer número inteiro existe outro número inteiro maior que ele. Haverá sempre outro, e outro.
Em limites, não queremos ficar infinitamente grande, mas infinitamente próximos. Quando dizemos que limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, queremos dizer que sempre poderemos chegar cada vez mais perto de 5.
Outro exemplo: limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared
Vamos analisar limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, que é o limite da expressão x, squared quando x se aproxima de 2.
Podemos ver como, quando nos aproximamos do ponto em que x, equals, 2 no gráfico, os valores de y se aproximam cada vez mais de 4.
Também podemos olhar uma tabela de valores:
| x | x, squared |
|---|---|
| 1, comma, 9 | 3, comma, 61 |
| 1, comma, 99 | 3, comma, 9601 |
| start color gray, start underbrace, start color black, 1, comma, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 2, end subscript, end color gray | start color gray, start underbrace, start color black, 3, comma, 996001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 4, end subscript, end color gray |
| x | x, squared |
|---|---|
| 2, comma, 1 | 4, comma, 41 |
| 2, comma, 01 | 4, comma, 0401 |
| start color gray, start underbrace, start color black, 2, comma, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 2, end subscript, end color gray | start color gray, start underbrace, start color black, 4, comma, 004001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 4, end subscript, end color gray |
Além disso, podemos ver como podemos chegar tão próximos quanto quisermos de 4. Suponha que queiramos estar a menos de 0, comma, 001 unidade de distância de 4. Qual valor de x próximo de x, equals, 2 podemos escolher?
Vamos tentar x, equals, 2, comma, 001:
Isso é mais do que 0, comma, 001 unidade de distância de 4. Então vamos tentar x, equals, 2, comma, 0001:
Este valor é perto o suficiente! Ao tentarmos valores de x cada vez mais próximos de x, equals, 2, podemos chegar ainda mais perto de 4.
Conclusão: limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, equals, 4.
Um limite deve ser igual dos dois lados.
Voltando a f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 e limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, podemos ver como nos aproximamos de 5 quando os valores de x aumentam em direção a 3 (isso se chama "aproximação pela esquerda") ou quando eles diminuem em direção a 3 (isso se chama "aproximação pela direita").
Agora veja, por exemplo, a função h. O valor de y dos quais nos aproximamos conforme os valores de x se aproximam de x, equals, 3 depende de fazermos isso pela esquerda ou pela direita.
Quando nos aproximamos de x, equals, 3 pela esquerda, a função se aproxima de 4. Quando nos aproximamos de x, equals, 3 pela direita, a função se aproxima de 6.
Quando um limite não se aproxima do mesmo valor pelos dois lados, dizemos que o limite não existe.
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boa noite , nao consigo entender porque limite de 7 esta correto(1 voto)
é como no problema 2, o resultado da função é 2, mas o que importa é se pelos dois lados, esquerda e direita, a função se aproxima de 4, se sim o limite existe.(12 votos)
- Saudações!
18-11-2020|12:43
O limite deve ser igual dos dois lados(isto é,tanto à esquerda como à direita), certo?
Ora bem, uma vez que aqui os gráficos nos foram todos dados de bandeja...como posso eu saber, ao traçar um gráfico se o mesmo aproxima-se dos dois lados? - Se é que expus correctamente a questão!(2 votos)
Entendo a sua preocupação de estar às escuras quanto a funções de gráficos desconhecidos. Porém essa é só uma ideia intuitiva de como funciona, mais pra frente terá outros métodos para determinar os limites. Não sendo mais necessário um gráfico, inclusive.(2 votos)
Alguém me ajuda haha
Essa última questão, como eu vejo esse g(x)?(2 votos)- Não seria necessário saber a regra de formação dessa função. Acho que era isso que você queria saber. De qualquer modo, é alguma função definida por partes. de (-inf,3], x^2. daí pra frente parece ter alguma coisa com -nx^2 e parece que segue de um ax + b, você pode até encontrar a reta usada por meio dos dois pontos pertencentes a ela mas de novo, não seria necessário.(1 voto)
- No caso desses problemas de análise de gráficos, como eu posso calcular esse valores de f(g)?(1 voto)
12:43