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Introdução aos limites

Limites descrevem como uma função se comporta perto de um ponto, e não naquele ponto. Essa ideia simples, porém poderosa, é a base de todo o cálculo.
Para entender o que são limites, vamos examinar um exemplo. Começamos com a função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2.
A função f está representada graficamente. O eixo x vai de 0 até 9. O gráfico consiste em uma reta que se inicia em (0, 2) e se move para cima passando por (2, 4) e (4, 6), terminando em (7, 9).web+graphie://cdn.kastatic.org/ka-perseus-graphie/507e8f38d9db338d657f07b535ba2ed4a8a9d206
O limite de f em x, equals, 3 é o valor do qual f se aproxima conforme nos aproximamos cada vez mais de x, equals, 3. Graficamente, este é o valor de y do qual nos aproximamos quando olhamos para o gráfico de f e nos aproximamos cada vez mais do ponto do gráfico em que x, equals, 3.
Por exemplo, se começarmos no ponto left parenthesis, 1, comma, 3, right parenthesis e nos movermos no gráfico até chegarmos realmente perto de x, equals, 3, então nosso valor de y (isto é, o valor da função) se aproximará muito de 5.
O gráfico da função f é animado. Um ponto se move para cima na reta de (1, 3) até (2,99; 4,99).
Criado com Geogebra.
Da mesma forma, se começarmos em left parenthesis, 5, comma, 7, right parenthesis e nos movermos para a esquerda até chegarmos realmente perto de x, equals, 3, o valor de y será, novamente, muito próximo de 5.
O gráfico da função f é animado. Um ponto se move para baixo na reta de (5, 7) até (3,01; 5,01).
Criado com Geogebra.
Por essas razões, dizemos que o limite de f em x, equals, 3 é 5.
O gráfico da função f tem setas apontando ao longo da reta, apontando para cima à direita e para baixo à esquerda, respectivamente, apontando para o ponto (3, 5).
Vocês podem estar se perguntando qual é a diferença entre o limite de f em x, equals, 3 e o valor de f em x, equals, 3, ou seja, f, left parenthesis, 3, right parenthesis.
O limite de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 em x, equals, 3 é igual a f, left parenthesis, 3, right parenthesis, mas nem sempre será assim. Para entender isso, vamos examinar a função g. Esta função é igual a f em todos os sentidos, exceto pelo fato de ser indefinida em x, equals, 3.
A função g está representada graficamente. O eixo x vai de 0 até 9. O gráfico consiste em uma reta que começa em (0, 2), move-se para cima através de (2, 4) e um círculo aberto em (3, 5) e termina em (7, 9).
Assim como f, o limite de g em x, equals, 3 é 5. Isso porque ainda podemos chegar bem perto de x, equals, 3 e os valores da função chegarão bem perto de 5.
O gráfico da função g tem setas apontando ao longo da reta, apontando para cima à direita e para baixo à esquerda, respectivamente, apontando para o círculo aberto em (3, 5).
Então, o limite de g em x, equals, 3 é igual a 5, mas o valor de g em x, equals, 3 é indefinido! Eles não são iguais!
Essa é a beleza dos limites: eles não dependem do valor real da função no limite. Eles descrevem como a função se comporta quando se aproxima do limite.
Problema 1
Este é o gráfico de h.
Qual seria uma estimativa razoável para o limite de h em x, equals, 3?
Escolha 1 resposta:

Também temos uma notação especial quando falamos de limites. Escrevemos o limite de f conforme x se aproxima de 3 assim:
"O limite de...""... a funça˜f..."limx3f(x)"... conforme x se aproxima de 3."\begin{aligned} \scriptsize\text{"O limite de..."}&\qquad\scriptsize\text{"... a função }f\text{..."} \\ \searrow\qquad&\qquad\swarrow \\ \LARGE\displaystyle\lim_{x\to 3}&\LARGE f(x) \\ \nearrow\qquad \\ \scriptsize\text{"... conforme }x\text{ se aproxima de }3\text{."} \end{aligned}
O símbolo limit significa que estamos calculando um limite de algo.
A expressão à direita de limit é a expressão da qual estamos calculando o limite. Neste caso, é a função f.
A expressão x, \to, 3, que fica abaixo de limit, significa que estamos calculando o limite de f conforme os valores de x se aproximam de 3.
Problema 2
Este é o gráfico de f
Qual seria uma estimativa razoável para limit, start subscript, x, \to, 6, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis ?
Escolha 1 resposta:

Problema 3
Qual expressão representa o limite de x, squared conforme x se aproxima de 5?
Escolha 1 resposta:

Em limites, queremos chegar infinitamente perto.

O que queremos dizer quando falamos "infinitamente perto"? Vamos examinar os valores de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 conforme os valores de x chegam muito perto de 3 (lembre-se de que, como estamos lidando com limites, não estamos preocupados com o valor de f, left parenthesis, 3, right parenthesis em si).
xf, left parenthesis, x, right parenthesis
2, comma, 94, comma, 9
2, comma, 994, comma, 99
start color gray, start underbrace, start color black, 2, comma, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 3, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 4, comma, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 5, end subscript, end color gray
Podemos ver como, quando os valores de x são menores que 3, mas se aproximam cada vez mais dele, os valores de f se aproximam cada vez mais de 5.
xf, left parenthesis, x, right parenthesis
3, comma, 15, comma, 1
3, comma, 015, comma, 01
start color gray, start underbrace, start color black, 3, comma, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 3, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 5, comma, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 5, end subscript, end color gray
Também podemos ver como, quando os valores de x são maiores que 3, mas se aproximam cada vez mais dele, os valores de f se aproximam cada vez mais de 5.
Observe que o mais próximo que chegamos de 5 foi com f, left parenthesis, 2, comma, 999, right parenthesis, equals, 4, comma, 999 e f, left parenthesis, 3, comma, 001, right parenthesis, equals, 5, comma, 001, que estão a 0, comma, 001 unidade de distância de 5.
Podemos nos aproximar ainda mais se quisermos. Por exemplo, suponha que queiramos estar a 0, comma, 00001 unidade de distância de 5; para isso, escolheríamos x, equals, 3, comma, 00001 e, então, f, left parenthesis, 3, comma, 00001, right parenthesis, equals, 5, comma, 00001.
Isto é interminável. Sempre podemos nos aproximar mais de 5. E é isso exatamente o que significa "infinitamente perto" ! Como é impossível estar "infinitamente perto" na vida real, o que queremos dizer com limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5 é que não importa o quão perto queiramos estar de 5, haverá um valor de x bem próximo de 3 que nos aproximará dele.
Se você acha isso difícil de entender, talvez isso o ajude: como sabemos que existem infinitos números inteiros diferentes? Não é que tenhamos contado todos eles e chegado ao infinito. Sabemos que eles são infinitos porque para qualquer número inteiro existe outro número inteiro maior que ele. Haverá sempre outro, e outro.
Em limites, não queremos ficar infinitamente grande, mas infinitamente próximos. Quando dizemos que limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, queremos dizer que sempre poderemos chegar cada vez mais perto de 5.
Problema 4
xg, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 7, comma, 16, comma, 32
minus, 7, comma, 016, comma, 1
minus, 7, comma, 0016, comma, 03
minus, 6, comma, 9996, comma, 03
minus, 6, comma, 996, comma, 1
minus, 6, comma, 96, comma, 32
Qual seria uma estimativa razoável para limit, start subscript, x, \to, minus, 7, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:

Outro exemplo: limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared

Vamos analisar limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, que é o limite da expressão x, squared quando x se aproxima de 2.
A função y = x ao quadrado está representada graficamente. O eixo x vai de 4 negativo até 6. O gráfico consiste em uma curva. Essa curva é uma parábola que começa em (-3, 9), move-se para baixo passando por (-1, 1) até (0, 0), move-se para cima passando por (1, 1) e termina em (3, 9).
Podemos ver como, quando nos aproximamos do ponto em que x, equals, 2 no gráfico, os valores de y se aproximam cada vez mais de 4.
O gráfico de x ao quadrado é animado com um ponto se movendo para cima na curva de (1,5; 2,25) até (1,99; 3,96) e então se movendo para baixo na curva de (2,25; 6,25) até (2,01; 4,04).
Criado com Geogebra.
Também podemos olhar uma tabela de valores:
xx, squared
1, comma, 93, comma, 61
1, comma, 993, comma, 9601
start color gray, start underbrace, start color black, 1, comma, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 2, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 3, comma, 996001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 4, end subscript, end color gray
xx, squared
2, comma, 14, comma, 41
2, comma, 014, comma, 0401
start color gray, start underbrace, start color black, 2, comma, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 2, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 4, comma, 004001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, d, e, space, end text, 4, end subscript, end color gray
Além disso, podemos ver como podemos chegar tão próximos quanto quisermos de 4. Suponha que queiramos estar a menos de 0, comma, 001 unidade de distância de 4. Qual valor de x próximo de x, equals, 2 podemos escolher?
Vamos tentar x, equals, 2, comma, 001:
2, comma, 001, squared, equals, 4, comma, 004001
Isso é mais do que 0, comma, 001 unidade de distância de 4. Então vamos tentar x, equals, 2, comma, 0001:
2, comma, 0001, squared, equals, 4, comma, 00040001
Este valor é perto o suficiente! Ao tentarmos valores de x cada vez mais próximos de x, equals, 2, podemos chegar ainda mais perto de 4.
Conclusão: limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, equals, 4.

Um limite deve ser igual dos dois lados.

Voltando a f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 e limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, podemos ver como nos aproximamos de 5 quando os valores de x aumentam em direção a 3 (isso se chama "aproximação pela esquerda") ou quando eles diminuem em direção a 3 (isso se chama "aproximação pela direita").
A função f está representada graficamente. O eixo x vai de 0 até 9. O gráfico é uma reta que começa em (0, 2) e se move para cima passando por (2, 4) e (4, 6). Uma seta aponta para cima na reta na direção de (3, 5) e representa a aproximação pela esquerda. Uma seta aponta para baixo na reta na direção de (3, 5) e representa a aproximação pela direita.
Agora veja, por exemplo, a função h. O valor de y dos quais nos aproximamos conforme os valores de x se aproximam de x, equals, 3 depende de fazermos isso pela esquerda ou pela direita.
A função h está representada graficamente. O eixo x vai de 0 até 9. O gráfico consiste em 2 retas. A primeira reta começa em (0, 1), move-se para cima e termina em um círculo aberto em (3, 4). A segunda reta começa em um círculo fechado em (3, 6), move-se para cima e termina em (6, 9).
Quando nos aproximamos de x, equals, 3 pela esquerda, a função se aproxima de 4. Quando nos aproximamos de x, equals, 3 pela direita, a função se aproxima de 6.
O gráfico da função h tem uma seta, representando a aproximação pela esquerda, que aponta para cima à direita ao longo da primeira reta até o círculo aberto em (3, 4). Outra seta, representando a aproximação pela direita, aponta para baixo à esquerda ao longo da segunda reta até o círculo fechado em (3, 6).
Quando um limite não se aproxima do mesmo valor pelos dois lados, dizemos que o limite não existe.
Problema 5
Este é o gráfico da função g.
Qual dos limites existe?
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