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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 1
Lição 2: Como definir limites e usar a notação de limiteIntrodução aos limites
Limites descrevem como uma função se comporta perto de um ponto, e não naquele ponto. Essa ideia simples, porém poderosa, é a base de todo o cálculo.
Para entender o que são limites, vamos examinar um exemplo. Começamos com a função .
O limite de em é o valor do qual se aproxima conforme nos aproximamos cada vez mais de . Graficamente, este é o valor de do qual nos aproximamos quando olhamos para o gráfico de e nos aproximamos cada vez mais do ponto do gráfico em que .
Por exemplo, se começarmos no ponto e nos movermos no gráfico até chegarmos realmente perto de , então nosso valor de (isto é, o valor da função) se aproximará muito de .
Da mesma forma, se começarmos em e nos movermos para a esquerda até chegarmos realmente perto de , o valor de será, novamente, muito próximo de .
Por essas razões, dizemos que o limite de em é .
Vocês podem estar se perguntando qual é a diferença entre o limite de em e o valor de em , ou seja, .
O limite de em é igual a , mas nem sempre será assim. Para entender isso, vamos examinar a função . Esta função é igual a em todos os sentidos, exceto pelo fato de ser indefinida em .
Assim como , o limite de em é . Isso porque ainda podemos chegar bem perto de e os valores da função chegarão bem perto de .
Então, o limite de em é igual a , mas o valor de em é indefinido! Eles não são iguais!
Essa é a beleza dos limites: eles não dependem do valor real da função no limite. Eles descrevem como a função se comporta quando se aproxima do limite.
Também temos uma notação especial quando falamos de limites. Escrevemos o limite de conforme se aproxima de assim:
O símbolo significa que estamos calculando um limite de algo.
A expressão à direita de é a expressão da qual estamos calculando o limite. Neste caso, é a função .
A expressão , que fica abaixo de , significa que estamos calculando o limite de conforme os valores de se aproximam de .
Em limites, queremos chegar infinitamente perto.
O que queremos dizer quando falamos "infinitamente perto"? Vamos examinar os valores de conforme os valores de chegam muito perto de (lembre-se de que, como estamos lidando com limites, não estamos preocupados com o valor de em si).
Podemos ver como, quando os valores de são menores que , mas se aproximam cada vez mais dele, os valores de se aproximam cada vez mais de .
Também podemos ver como, quando os valores de são maiores que , mas se aproximam cada vez mais dele, os valores de se aproximam cada vez mais de .
Observe que o mais próximo que chegamos de foi com e , que estão a unidade de distância de .
Podemos nos aproximar ainda mais se quisermos. Por exemplo, suponha que queiramos estar a unidade de distância de ; para isso, escolheríamos e, então, .
Isto é interminável. Sempre podemos nos aproximar mais de . E é isso exatamente o que significa "infinitamente perto" ! Como é impossível estar "infinitamente perto" na vida real, o que queremos dizer com é que não importa o quão perto queiramos estar de , haverá um valor de bem próximo de que nos aproximará dele.
Se você acha isso difícil de entender, talvez isso o ajude: como sabemos que existem infinitos números inteiros diferentes? Não é que tenhamos contado todos eles e chegado ao infinito. Sabemos que eles são infinitos porque para qualquer número inteiro existe outro número inteiro maior que ele. Haverá sempre outro, e outro.
Em limites, não queremos ficar infinitamente grande, mas infinitamente próximos. Quando dizemos que , queremos dizer que sempre poderemos chegar cada vez mais perto de .
Outro exemplo:
Vamos analisar , que é o limite da expressão quando se aproxima de .
Podemos ver como, quando nos aproximamos do ponto em que no gráfico, os valores de se aproximam cada vez mais de .
Também podemos olhar uma tabela de valores:
Além disso, podemos ver como podemos chegar tão próximos quanto quisermos de . Suponha que queiramos estar a menos de unidade de distância de . Qual valor de próximo de podemos escolher?
Vamos tentar :
Isso é mais do que unidade de distância de . Então vamos tentar :
Este valor é perto o suficiente! Ao tentarmos valores de cada vez mais próximos de , podemos chegar ainda mais perto de .
Conclusão: .
Um limite deve ser igual dos dois lados.
Voltando a e , podemos ver como nos aproximamos de quando os valores de aumentam em direção a (isso se chama "aproximação pela esquerda") ou quando eles diminuem em direção a (isso se chama "aproximação pela direita").
Agora veja, por exemplo, a função . O valor de dos quais nos aproximamos conforme os valores de se aproximam de depende de fazermos isso pela esquerda ou pela direita.
Quando nos aproximamos de pela esquerda, a função se aproxima de . Quando nos aproximamos de pela direita, a função se aproxima de .
Quando um limite não se aproxima do mesmo valor pelos dois lados, dizemos que o limite não existe.
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- boa noite , nao consigo entender porque limite de 7 esta correto(1 voto)
- é como no problema 2, o resultado da função é 2, mas o que importa é se pelos dois lados, esquerda e direita, a função se aproxima de 4, se sim o limite existe.(12 votos)
- Saudações!
18-11-2020|12:43
O limite deve ser igual dos dois lados(isto é,tanto à esquerda como à direita), certo?
Ora bem, uma vez que aqui os gráficos nos foram todos dados de bandeja...como posso eu saber, ao traçar um gráfico se o mesmo aproxima-se dos dois lados? - Se é que expus correctamente a questão!(3 votos)- Entendo a sua preocupação de estar às escuras quanto a funções de gráficos desconhecidos. Porém essa é só uma ideia intuitiva de como funciona, mais pra frente terá outros métodos para determinar os limites. Não sendo mais necessário um gráfico, inclusive.(4 votos)
- Alguém me ajuda haha
Essa última questão, como eu vejo esse g(x)?(2 votos)- Não seria necessário saber a regra de formação dessa função. Acho que era isso que você queria saber. De qualquer modo, é alguma função definida por partes. de (-inf,3], x^2. daí pra frente parece ter alguma coisa com -nx^2 e parece que segue de um ax + b, você pode até encontrar a reta usada por meio dos dois pontos pertencentes a ela mas de novo, não seria necessário.(1 voto)
- No caso desses problemas de análise de gráficos, como eu posso calcular esse valores de f(g)?(1 voto)