Introdução aos limites

RKA1JV Neste vídeo, quero familiarizar você com uma ideia muito importante que é a ideia de limite. Esta é uma ideia bastante simples, vamos começar olhando para uma função, deixe-me definir uma aqui. Vamos analisar a função definida por f(x), pensando em números reais, igual a (x - 1) sobre (x - 1). A primeira coisa que talvez você pense é: um número dividido por ele mesmo vai dar sempre 1. Essa é uma ideia correta. Entretanto, temos que considerar o fato de que "x" representa um certo número, e se o "x" for 1, o denominador dá zero e nós temos problemas. Vamos de fato escrever aqui, se o "x" for 1, f(1) fica sendo igual a 1 menos 1, dividido por 1 menos 1 o que dá zero dividido por zero. E isso é o que chamamos indefinição. Como é que vamos dividir zero por zero? Observando isso, temos uma maneira equivalente de definir esta função. Ela pode ser definida como f(x) =1. Desde que o "x" seja diferente de 1, são formas equivalentes de definir a mesma função. Como seria a representação gráfica dessa função? Vou colocar os eixos aqui. Esse seria meu eixo "y" igual a f(x), aqui o eixo dos "x", valores de "x". Na hora de compor o gráfico, imaginando valores diferentes para "x" que não seja 1, este resultado é sempre 1, ou seja, nós teríamos infinitos pontos, todos na altura da ordenada 1, formando uma reta que não tem continuidade, que tem um "buraco". Quando o "x" vale 1 que é quando nós teríamos a divisão por zero, depois aqui, essa reta continua. Muito bem. Esta "bolinha vazia" significa que f(1) é indefinido, é uma indefinição. Mas o que acontece com a função quando "x" vai se aproximando de 1? Não sendo igual, aproximando-se de 1. Esta é a ideia de limite. O que acontece quando "x" chega bem perto de 1? Esta é a pergunta que fazemos quando estamos estudando limite. Quando "x" vai chegando bem perto de 1 pela esquerda, o que acontece com o valor de "f"? Veja, o valor de "f" é 1. Mesma coisa acontece pela direita quando o "x" vai chegando bem perto de 1, valor de "f" continua sendo o 1. Nós escrevemos que, para esta função, o limite quando "x" tende a 1 do f(x), esse limite é igual a 1, que era o que nós estávamos observando para a função quando aproximávamos cada vez mais o "x" de 1. Essa ideia vai ficando mais familiar nos próximos exemplos. Vamos para o outro exemplo então. Vamos dizer que temos a função definida por g(x) = x². Se o "x" é diferente de 2 e g(x) é igual a 1, se o "x" for 2, vamos olhar para o gráfico um pouquinho. Preparei os eixos aqui. Vou marcar valores para "x" aqui, seria o "x" igual a 1, igual a 2, aqui o "x" seria -1, -2. Para qualquer valor de "x" que não seja 2, a função é definida por x², que nos dá uma parábola já bastante conhecida, vou desenhá-la aqui. Se o "x" é -1, o "y" é 1, porque -1² dá 1, se o "x" é -2, o "y" é 4, porque -2² é 4. Se o "x" é 1, 1² dá 1, então, a parábola passa por esse ponto, se "x" é zero, zero ao quadrado é zero. Agora se o "x" é 2, a função vale 1. Então, este ponto também pertence ao gráfico, nós teremos a parábola que passa por estes pontos. Mas quando "x" for 2, ela tem um "buraco". Então, aqui marquei alguns pontos, vou com algum cuidado traçando a parábola, não está muito bonita, mas é razoável para interpretarmos. Aqui, o último toque é o fato de que quando "x" é 2, nós não temos o ponto correspondente da parábola porque quando "x" é 2, o f(x), ou melhor dizendo, g(x), vou arrumar aqui, tem que ser 1. Então, aqui nós colocamos este sinalzinho, de que este ponto não pertence à parábola. Eu tenho duas coisas para perguntar: a primeira é como obter o g(2). Esta é fácil, g(2) é o "g" quando "x" vale 2 e, olhando na definição, quando "x" vale 2, g(2) é 1. A pergunta mais interessante agora é esta: o que acontece quando "x" se aproxima de 2? Ou seja, qual é o limite de g(x) quando "x" tende a 2? Ou seja, conforme o "x" vai se aproximando mais e mais de 2, o que acontece com a função? O que acontece com o g(x)? Por exemplo se o "x" for 1,9999999, quando for chegando bem próximo de 2, o que podemos esperar que aconteça? A mesma coisa vindo pela direita, o que acontece quando "x" é 2,1, 2,01, ou 2,001? Pelo gráfico, nós podemos perceber que quando "x" vai se aproximando cada vez mais de 2, o "g", a função vai se aproximando cada vez mais do 4 que está aqui, quando "x" vai se aproximando do 2. Observe que quando "x" vale 2, g(2) é 1. Entretanto, estamos olhando para quando "x" se aproxima muito do 2, o que acontece com o "g"? Não é a mesma coisa. É justamente o que nós estamos falando aqui, o limite quando "x" tende a 2 dessa função definida por g(x). Resumindo, o limite quando "x" tende a 2 para o g(x) é igual a 4. Nós podemos observar isso um pouco melhor usando uma calculadora, vou pegar uma. Se o "x" for 1,9², 3,61. 1,99², 3,9601. Chegando mais perto do 4, como já esperávamos, 1,999², 3,99 mais perto ainda do 4. Assim, nós poderíamos continuar e ver que vamos chegar cada vez mais perto do 4, inclusive se eu colocar os 1,999, vários algarismos 9. Vários organismos 9 e elevar ao quadrado, a calculadora vai chegar um momento que vai arredondar para 4 ao elevar ao quadrado. Veja só, aqui está 4. Na verdade ele não é 4, é muito próximo disso, mas isso confirma o que nós visualizamos anteriormente. A mesma coisa nós podemos estudar para valores de "x" que se aproximam de 2 pela direita, ou seja, maiores que 2, por exemplo, 2,11² dá 4,41. 2,01² vai dar algo mais próximo de 4, 4,0401. Vamos diretamente aqui um pouco mais adiante, 2,001², isso nos dá quase 4 e assim por diante. Ou seja, está sendo razoável afirmar que quando "x" se aproxima de 2, g(x) tende a 4. Esta foi uma maneira numérica de você observar que quando "x" se aproxima de 2, cada vez mais, o valor da função se aproxima cada vez mais de 4. Embora quando "x" vale 2 o valor da função seja 1. Temos uma descontinuidade aqui. Esta foi uma ideia inicial sobre limite de uma função, nós continuamos com esse tema ainda mais adiante. Até o próximo vídeo!