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Cálculo Avançado AB

Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 1

Lição 3: Como estimar os valores de limites a partir de gráficos

Como estimar os valores de limites a partir de gráficos
Limites infinitos
Como estimar os valores de limites a partir de gráficos
Como estimar os valores de limites a partir de gráficos
Limites laterais a partir de gráficos
Limites laterais a partir de gráficos: assíntota
Limites laterais a partir de gráficos
Conexão de limites e comportamento gráfico
Conexão de limites e comportamento gráfico

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Como estimar os valores de limites a partir de gráficos

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Como estimar os valores de limites a partir de gráficos

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A melhor maneira de começar a pensar sobre limites é usando gráficos. Aprenda a analisar graficamente um limite e conheça casos nos quais o limite não existe.

Há uma importante diferença entre o valor do qual uma função se aproxima—o que chamamos de limite—e o valor da função em si. Gráficos são ótimas ferramentas para entender essa diferença.

Uma função está representada graficamente e animada. O eixo x vai de 0 até 3. O gráfico é uma curva que começa em (0; 0,5), se move para baixo por um círculo aberto em aproximadamente (0; 0,25). Um cursor move um ponto na curva na direção do círculo aberto pela esquerda e pela direita. Os valores se aproximam de 0,25. No círculo aberto, a coordenada mostrada é (2, indefinido).

desmos.com para examinar o

\displaystyle{\lim_{x \to 2}{\dfrac{x-2}{x^2-4}}}

limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction

Observe como, à medida que nos aproximamos mais e mais de x=2, seja pela esquerda ou pela direita, parecemos nos aproximar de y=0,25.

No exemplo acima, vemos que o valor da função é indefinido, mas o valor do limite é aproximadamente

0{,}25

0, comma, 25.

Mas lembre-se de que estamos lidando com uma aproximação, e não com um valor exato. Se quiséssemos, poderíamos continuar focando para obter uma melhor aproximação.

Exemplos

Os exemplos abaixo destacam casos interessantes do uso de gráficos para aproximar limites. Em alguns dos exemplos, o valor do limite e o valor da função são iguais, mas em outros exemplos, eles são diferentes.

Às vezes o valor do limite é igual ao valor da função.

Problema 1

Qual seria uma estimativa razoável para limit, start subscript, x, \to, 1, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis ?

A função g está representada graficamente. O eixo x vai de 8 negativo até 8. O gráfico consiste em 1 curva. A curva começa em aproximadamente (7 negativo, 8 negativo) e se move para cima passando por um ponto em x = 1, entre y = 1 negativo e y = 2 negativo, mais próxima de y = 1 negativo. A curva termina no quadrante 1.

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
minus, 1, comma, 9
(Escolha B)
minus, 1, comma, 4
(Escolha C)
1
(Escolha D)
O limite não existe.

Mas, às vezes, o valor do limite não é igual ao valor da função.

Sempre que você estiver lidando com uma função definida por partes, será possível obter um gráfico como o mostrado abaixo.

Problema 2

Qual seria uma estimativa razoável para limit, start subscript, x, \to, 1, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis ?

A função g está representada graficamente. O eixo x vai de 8 negativo até 8. O gráfico consiste em uma curva e um círculo fechado. A curva começa aproximadamente em (8 negativo, 6), move-se para baixo até aproximadamente (3 negativo; 3,5) e se move para cima passando por um círculo fechado em x = 1, logo acima de y = 4. A curva termina no quadrante 1. Um círculo fechado é plotado em x = 1, logo abaixo de y = 2.

[O quê estes círculos significam?]

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
1
(Escolha B)
1, comma, 7
(Escolha C)
4, comma, 2
(Escolha D)
5, comma, 1
(Escolha E)
O limite não existe.

Conclusão importante: é possível que o valor da função seja diferente do valor do limite.

Só porque uma função é indefinida para algum valor de x, isso não significa que não exista um limite.

"Buracos" em gráficos ocorrem em funções racionais, que se tornam indefinidas quando seus denominadores são iguais a zero. Um exemplo clássico disso é:

Uma função está representada graficamente. O eixo x vai de 3 negativo até 3. O gráfico é uma curva em forma de U que começa aproximadamente em (2,5 negativo; 4), move-se para baixo até um círculo aberto em (0, 1), move-se para cima e termina em aproximadamente (2,5; 4).

Este é o gráfico de y = x / sen(x). Observe que há um "buraco" em x = 0, uma vez que a função é indefinida neste local.

Neste exemplo, o limite é provavelmente

1

1, pois é desse valor que

y

y parece se aproximar conforme nossos valores de

x

x se aproximam cada vez mais de

0

0. Independentemente de a função ser indefinida em

x=0

x, equals, 0, o limite ainda existe.

Confira este outro problema e tente resolvê-lo:

Problema 3

Qual seria uma estimativa razoável para limit, start subscript, x, \to, minus, 4, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis ?

A função f está representada graficamente. O eixo x vai de 8 negativo até 8. O gráfico consiste em uma curva. A curva começa no quadrante 2 e se move para baixo passando por um círculo aberto em x = -4, logo acima da linha que passa por y = 3 na malha quadriculada. A curva termina no quadrante 4.

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
minus, 4
(Escolha B)
3, comma, 3
(Escolha C)
3, comma, 8
(Escolha D)
4
(Escolha E)
O limite não existe.

Reforço do conceito-chave: o valor da função em

x=-4

x, equals, minus, 4 é irrelevante para determinar o limite. O que realmente importa é descobrir de qual valor

y

y está se aproximando conforme nos aproximamos cada vez mais de

x=-4

x, equals, minus, 4.

Por outro lado, quando a função é definida para algum valor de x, isso não significa que o limite necessariamente exista.

Da mesma forma que em um exemplo anterior, este gráfico mostra o que pode ocorrer quando se trabalha com funções definidas por partes. Observe como não estamos nos aproximando do mesmo valor de

y

y pelos dois lados de

x=3

x, equals, 3.

Problema 4

Qual seria uma estimativa razoável para limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis?

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
minus, 3
(Escolha B)
1
(Escolha C)
4
(Escolha D)
O limite não existe

Gostaria de praticar mais? Tente este exercício.

Calculadoras gráficas estão bastante aprimoradas hoje em dia.

Calculadoras gráficas como a Desmos podem dar uma noção do que está ocorrendo com os valores de

y

y à medida que você se aproxima mais e mais de um determinado valor de

x

x. Experimente usar uma calculadora gráfica para estimar estes limites:

\begin{aligned} &\displaystyle{\lim_{x \to 0}{\dfrac{x}{\operatorname{sen}(x)}}} \\\\ &\displaystyle{\lim_{x \to 3}{\dfrac{x-3}{x^2-9}}} \end{aligned}

Nos dois casos, a função não é definida no valor de

x

x do qual estamos nos aproximando, mas o limite ainda existe e é possível estimá-lo.

Questões de resumo

Problema 5

É sempre verdade que limit, start subscript, x, \to, a, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, a, right parenthesis?

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
Sim
(Escolha B)
Não

Problema 6

Qual afirmativa descreve melhor como gráficos nos ajudam a raciocinar sobre limites?

Escolha todas as respostas aplicáveis:

(Escolha A)
Um gráfico pode nos ajudar a aproximar um limite ao nos permitir estimar o valor finito de y do qual estamos nos aproximando conforme nos aproximamos cada vez mais de algum valor de x (por ambos os lados).
(Escolha B)
Um gráfico é sempre uma excelente ferramenta para se encontrar o valor exato do limite.

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pettersonsantosrj
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Muito obrigado pelas dica...” de pettersonsantosrj
Muito obrigado pelas dicas. Vocês são 10! Que Deus os abençoe!
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(17 votos)
Resposta
Romario Melo
Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “O limite é algo não muito...” de Romario Melo
O limite é algo não muito complexo, mas sim algo exalto, na qual imaginar uma sequência de números infinitesimal de X é algo que não temos uma vida para provar onde isso acaba. Matemática é bela.
Botão para a página de cadastroComentar sobre a postagem “O limite é algo não muito...” de Romario Melo
(7 votos)
Resposta
adelino silca
Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “em cada 5:00 horas a mare...” de adelino silca
em cada
5:00
horas a mare muda sua forca e percuso na bahia como achar a velocidae exata em uma noite de lua cheia !
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(2 votos)
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Exemplos

Às vezes o valor do limite é igual ao valor da função.

Mas, às vezes, o valor do limite não é igual ao valor da função.

Só porque uma função é indefinida para algum valor de xxxx, isso não significa que não exista um limite.

Por outro lado, quando a função é definida para algum valor de xxxx, isso não significa que o limite necessariamente exista.

Calculadoras gráficas estão bastante aprimoradas hoje em dia.

Questões de resumo

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Só porque uma função é indefinida para algum valor de x, isso não significa que não exista um limite.

Por outro lado, quando a função é definida para algum valor de x, isso não significa que o limite necessariamente exista.