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Conexão de limites e comportamento gráfico

Geralmente, quando analisamos os limites de uma função a partir de seu gráfico, estamos examinando os pontos mais "importantes". É importante lembrar que você pode falar sobre o valor da função em qualquer ponto. Além disso, uma descrição de um limite pode se aplicar a várias funções diferentes.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Nós temos aqui o gráfico de y igual a g(x) e queremos saber o limite com x tendendo a 5 no g(x). Já fizemos esse tipo de coisa algumas vezes, mas vamos ver aqui o que acontece quando x se aproxima de 5 pela esquerda. Quando x se aproxima de 5 pela esquerda, o g(x) se aproxima do -6. Por outro lado, quando x se aproxima de 5 pela direita, g(x) parece que está também se aproximando de -6. Então uma estimativa razoável baseada em olhar este gráfico é que se esse x tende a 5, g(x) tende a 6 negativo. Então o limite de g(x), quando x tende a 5, seria -6. Mas observe que g(5) vale outro número, vale zero. Esse é o ponto desse vídeo: verificar que o limite descreve o comportamento de uma função. Quando nos aproximamos de um certo valor, de um certo ponto, o limite não nos diz o que está acontecendo exatamente naquele ponto e não nos diz muito sobre o resto da função nem sobre o resto do gráfico. Por exemplo, eu poderia construir gráficos de diferentes funções para as quais o limite com x tendendo a 5 resulte em -6. Esses gráficos podem ter uma aparência bem diferente do que temos aqui para o g(x). Por exemplo, eu posso dizer que o limite de f(x), quando x tende a 5, é igual a -6 e o gráfico dessa função f(x) pode ser bem diferente. Veja. Pause o vídeo e tente ver se você consegue desenhar uma situação em que se note isso. O que nós estamos enfatizando aqui é que se o x se aproxima dos dois lados, pela esquerda e pela direita, do número 5, a função tem que se aproximar de -6. Então, por exemplo, uma função que tem um comportamento assim, um comportamento gráfico assim. Veja que para um gráfico como esse isso vai funcionar. Conforme x se aproxima de 5 pela direita ou pela esquerda, o gráfico da função f já nos mostra que f tende a -6. Podemos pensar em uma outra função, digamos que representada pela letra h, e o limite de h(x) quando x tende a 5 é igual a -6. Ela poderia ser completamente diferente das outras. Veja: o gráfico dela vem aqui paralelo ao eixo x, depois tem esse outro trecho aqui e digamos que ela não é definida para esses outros valores. De x igual a 4 em diante ela tem esse gráfico. Todas essas funções, quando x tende a 5, têm o limite definido e o limite é -6. Mas todas essas funções têm aparências completamente diferentes. Agora, uma outra coisa para prestar atenção é que para uma dada função, se temos o x se aproximando de alguma forma, de um valor interessante, por exemplo x tendendo a 5. 5 é interessante porque nós temos este ponto de descontinuidade, mas poderíamos tomar um limite para um infinito número de pontos. Vamos ver, por exemplo, o limite de g(x) quando x tende a 1. Pause o vídeo e tente responder o que temos aqui. Observe que quando x tende a 1 pela esquerda, estamos nos aproximando deste ponto, deste valor, e se x tende a 1 pela direita, temos também o mesmo valor e podemos ver que esse valor para o limite é igual a g(1). Essa é uma conclusão razoável olhando para este gráfico. E se você tivesse que estimar o valor do g(1), parece que é aproximadamente -5,1; -5,2, nessa faixa. Nós poderíamos obter o valor do limite de g(x) quando x tende a π [pi]. π é um valor que está aproximadamente aqui e no gráfico podemos ver que quando x se aproxima de π pela esquerda ou pela direita, percebemos que vamos encontrar para o valor de g o mesmo número, que é o próprio g(π). Então temos também que o limite de g(x) quando x tende a π é igual g(π). Então é muito importante frisar que podemos construir, podemos ter muitas funções diferentes com o mesmo limite no mesmo ponto. Para uma função dada, você pode tomar o limite em muitos pontos diferentes, de fato em uma quantidade infinita de pontos em que o valor do limite é o próprio valor da função naquele ponto. Às vezes nós ficamos preocupados em achar limites quando algo acontece de maneira estranha, como aqui neste ponto de descontinuidade que temos no gráfico. Até o próximo vídeo!