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Como estimar os valores de limites a partir de gráficos

Exemplos resolvidos de estimativa de limites de uma função a partir do seu gráfico.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL – Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos conversar sobre limites a partir de um gráfico. Aqui nós temos o gráfico de y igual a f(x) e queremos descobrir três limites diferentes. Como sempre, pause este vídeo e veja se consegue descobrir por conta própria antes de a gente fazer isso aqui juntos. Vamos fazer juntos agora. Primeiro vamos pensar sobre qual é o limite de f(x), em que x se aproxima de 6. O que a gente precisa fazer é observar o que acontece com a função quando x se aproxima de 6 de ambos os lados. Primeiro vamos observar aqui do lado esquerdo. Quando x se aproxima do lado esquerdo parece que f(x) está se aproximando de 1. E a mesma coisa do outro lado. Quando x se aproxima de 6 do lado direito, parece que f(x) está novamente se aproximando de 1. Para que esse limite exista, precisamos estar nos aproximando do mesmo valor, tanto do lado esquerdo quanto do direito. Então aqui, pelo menos graficamente, parece que estamos nos aproximando de 1. Então temos que esse limite é igual a 1. Um detalhe: você nunca pode ter certeza olhando apenas em um gráfico, mas isso é uma estimativa muito boa. Agora, com uma cor mais escura, vamos fazer o próximo. O limite de f(x), com x se aproximando de 4. Conforme nos aproximamos de 4 do lado esquerdo, o que está acontecendo? Quando nos aproximamos de 4 aqui do lado esquerdo, parece que nossa função, o valor da nossa função está se aproximando de 3. Lembre-se de que você pode ter um limite em um valor x onde a função em si não é definida. A função mesmo não está definida em 4, mas quando nos aproximamos pela esquerda de x igual a 4 parece que a função está se aproximando do 3. Observe, agora, que quando nos aproximamos de x igual a 4 pela direita, mais uma vez parece que nossa função está se aproximando de 3. Então aqui eu diria, pelo menos observando graficamente, parece que o limite de f(x) quando x se aproxima de 4 é 3, mesmo que a função em si não esteja definida nesse ponto. Agora vamos pensar sobre o limite quando x se aproxima de 2. Então isso é interessante porque a função é definida em x igual a 2, e f(2) é 2. Vamos ver agora o que encontramos quando nos aproximamos do lado esquerdo. Parece que nossa função está se aproximando de 2. Porém, quando nos aproximamos pelo lado direito, quando nos aproximamos de x igual a 2 pelo lado direito, nossa função está cada vez mais próxima de 5. A função não chega em 5, mas à medida que vamos para 2,1; 2,01; 2,001, parece que nossa função, o valor da nossa função, fica cada vez mais perto de 5. Já que estamos nos aproximando de x igual a 2 e encontramos a função se aproximando de dois valores diferentes em ambos os lados, ou seja, pelo lado esquerdo e pelo lado direito, o limite não existe. E isso é uma coisa bem interessante. Nesse primeiro caso a função é definida em 6 e o limite é igual ao valor da função em x igual a 6. Aqui a função não foi definida em x igual a 4, mas o limite existe. Agora, aqui, a função é definida em f(x) igual a 2, mas o limite não existe pois conforme nos aproximamos de x igual a 2, a função se aproxima de valores diferentes em ambos os lados. Vamos olhar uma outra função para entender melhor como obter esses limites através de um gráfico? Aqui nós temos o gráfico de y igual a g(x). Mais uma vez, pause o vídeo e veja se você consegue descobrir esses limites graficamente. Primeiro temos o limite de g(x) quando x se aproxima de 5. Conforme nos aproximamos de 5 do lado esquerdo, parece que estamos nos aproximando desse valor. Deixe-me desenhar uma linha reta para visualizar melhor o valor. Parece que estamos nos aproximando desse valor. Agora, quando nos aproximamos desse 5 pelo lado direito, parece que também nos aproximamos desse mesmo valor. Esse valor parece que é cerca de 0,4. Sendo assim, eu direi que esse limite definitivamente existe. Claro, apenas olhando para um gráfico não temos algo tão preciso, por isso vamos dizer que é aproximadamente 0,4. Pode ser 0,41, pode ser 0,41456789. Nós não sabemos exatamente apenas olhando para esse gráfico, mas parece um valor aproximadamente igual a isso. Agora vamos pensar sobre o limite de g(x) com x se aproximando de 7. Vamos fazer a mesma coisa. O que acontece quando nos aproximamos pela esquerda com valores menores que 7, ou seja, 6,9; 6,99; 6,999? Parece que o valor da nossa função está se aproximando de 2. Não importa que a função real "g" não é definida em x igual a 7, pois conforme nos aproximamos pela esquerda, conforme x passa de 6,9 para 6,99 e assim por diante, parece que o valor da nossa função está se aproximando de 2. Da mesma forma, quando nos aproximamos de x igual a 7 pelo lado direito, parece que a mesma coisa está acontecendo. Parece que estamos nos aproximando de 2. Sendo assim, eu diria que esse limite vai ser igual a 2. Vamos fazer mais um aqui agora. Qual é o limite quando x se aproxima de 1? Faremos a mesma coisa. Do lado esquerdo parece que vamos subindo conforme x vai para 0,9, depois para 0,99, depois para 0,999 e depois para 0,9999, ou seja, parece que estamos indo sem limites infinitamente para cima, e conforme nos aproximamos de x igual a 1 pelo lado direito, parece que a mesma coisa está acontecendo. Estamos indo para o infinito positivo. Um detalhe: às vezes as pessoas vão apenas falar que está se aproximando do infinito, ou algo assim. Mas se a gente quiser ser mais formal sobre o que um limite significa nesse contexto, a gente vai dizer que pelo fato de ele ser ilimitado, o limite não existe. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que a gente conversou aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!