Como usar tabelas para aproximar valores de limites

Limites são uma ferramenta para o raciocínio sobre comportamento de funções, e tabelas são uma ferramenta para o raciocínio sobre limites. Uma coisa interessante sobre tabelas é que, com elas, podemos obter estimativas mais precisas de limites do que conseguiríamos examinando gráficos.

Ao usar uma tabela para aproximar limites, é importante criá-la de maneira a simular a sensação de estarmos chegando "infinitamente perto" de um valor de $x$‍ desejado.

Imagine que temos que aproximar este limite:

Observação: na realidade, a função é indefinida em $x=2$‍ porque o denominador resulta em zero, mas o limite conforme $x$‍ se aproxima de $2$‍ ainda existe.

Etapa 1: gostaríamos de pegar um valor um pouco menor que $x=2$‍ (ou seja, um valor que esteja "à esquerda" de $2$‍, tendo como referência o eixo $x$‍ padrão), então talvez comecemos com algo como $x=1,9$‍.

Etapa 2: experimente mais alguns valores de $x$‍ para simular a sensação de estar chegando infinitamente perto de $x=2$‍ pela esquerda.

Observe como nossos valores de $x$‍ $\{1,9,1,99,\mathrm{1,999}9\}$‍ realmente vão ficando "mais próximos" de $x=2$‍. Acréscimos constantes nos valores de $x$‍, como $\{-1,0,1\}$‍, não teriam sido uma boa opção, pois eles não são muito úteis para se pensar em como chegar infinitamente perto de $x=2$‍.

Etapa 3: aproxime-se de $x=2$‍ pela direita, do mesmo jeito que fizemos pela esquerda. Queremos fazer isso para simular a sensação de estarmos chegando infinitamente perto de $x=2$‍.

(Observação: removemos $x=2$‍ da tabela para economizar espaço, e também porque ele não era necessário para pensarmos sobre o valor do limite).

Ao analisarmos a tabela que criamos, temos uma grande evidência de que o limite é $0,25$‍. Mas, para sermos honestos conosco, devemos admitir que o que temos é apenas uma aproximação razoável. Não podemos dizer com certeza que este seja o valor real do limite.

É preciso tomar cuidado com algumas coisas na hora de criar suas próprias tabelas para aproximar limites. Evite:

Pressupor que o valor da função é igual ao valor do limite: o exemplo acima destaca um caso no qual a função é indefinida e, ainda assim, o limite existe. Evite tirar conclusões precipitadas sobre o valor do limite com base no valor da função.

Não se aproximar infinitamente: aproximar-se infinitamente significa tentar chegar tão perto do valor de $x$‍ desejado, a ponto de restar muito pouco espaço entre onde você está e onde está o valor—perto o suficiente para convencer de que a estimativa que está sendo calculada é a mais próxima possível do valor do limite.

Não aproximar pelos dois lados: lembre-se de se aproximar do valor de $x$‍ desejado tanto pela direita quanto pela esquerda. Lembre-se também de que, para o limite existir, os limites à esquerda e à direita devem ser iguais. Evite tirar conclusões precipitadas sobre o valor do limite logo depois de se aproximar do valor de $x$‍ desejado por apenas um lado.

Pressupor que "lado esquerdo" significa "negativo": alguns alunos acreditam erroneamente que, ao se aproximarem pela esquerda, eles devem usar números negativos. No exemplo acima, nós nos aproximamos de $x=2$‍ pela esquerda usando valores positivos que eram só um pouquinho menores que $2$‍, como $1,9$‍ e $1,99$‍. Não assuma que deve-se usar valores negativos de $x$‍ ao aproximar-se pela esquerda.

Confundir o valor do limite com o valor da função: lembre-se de que o limite de uma função em um determinado ponto não é necessariamente igual ao valor da função neste ponto. Por exemplo, no problema 2, $g(5)=6,37$‍, mas ${\displaystyle \underset{x\to 5}{lim}g(x)}$‍ é aproximadamente $3,68$‍.

Pensar que o valor de um limite é sempre um número inteiro: alguns limites são "legais" e possuem valores inteiros ou valores fracionários bacanas. Por exemplo, o limite do nosso primeiro exemplo aqui foi $0,25$‍. Alguns limites são menos "legais", como o limite do problema 2 que era algum valor em torno de $3,68$‍.