Propriedades dos limites

RKA3JV - O que eu quero fazer, neste vídeo, é mostrar para você algumas propriedades dos limites. Eu não vou demonstrá-las rigorosamente aqui. Inclusive, porque precisaríamos de uma definição também bem rigorosa de limite, e não é o nosso objetivo neste tutorial. Mas, a ideia é que saibamos utilizar algumas propriedades que auxiliarão em simplificações importantes no futuro. Digamos que o limite de uma certa função f(x) quando "x" tende a "c" é igual a um valor "L". Digamos, também, que o limite de uma outra função real definida por g(x) quando "x" tende ao mesmo valor "c", é igual a um valor "M". Dado isto, qual seria o limite de f(x) + g(x), quando "x" tende ao valor "c"? Não estamos aqui fazendo uma demonstração rigorosa do que vai acontecer, mas eu quero dar a você as propriedades dos limites para você usar depois. E o limite de f(x) + g(x), quando "x" tende a "c" é igual à soma dos limites. Ou seja, o limite de f(x) quando "x" tende a "c" mais o limite de g(x), quando "x" tende a "c". Ou seja, aqui o limite de f(x) quando "x" tende a "c" é "L", e o limite de g(x) quando "x" tende a "c" é "M". Então, este limite de f + g, vai ser L + M. Esta é a geralmente chamada regra da soma ou propriedade da soma dos limites. De maneira análoga, o limite de f(x) - g(x), quando "x" tende a "c", vai ser também a diferença entre os limites das funções. Ou seja, L - M. Ou seja, o limite de f(x) quando "x" tende a "c", menos o limite de g(x), quando "x" tende a "c". "L" menos "M". Estas regras são bem, razoavelmente, intuitivas. O que acontece com o produto? Ou seja, o limite de f(x) vezes g(x), quando "x" tende a "c". Bem, para a nossa sorte, isso vai ser o limite de f(x), quando "x" tende a "c", vezes o limite de g(x), quando "x" tende a "c". O que, neste caso, nesta nossa representação, não vai ser nada menos que "L" vezes "M". Podemos também analisar a situação, em que temos o limite de uma constante multiplicando f(x), quando "x" tende a "c". E se usarmos a propriedade anterior, podemos verificar que isto vai ser igual a "k", que é uma constante real, vezes o limite de f(x), quando "x" tende a "c". E o limite de f(x) quando "x" tende a "c" é "L". Então, isso vai ser igual a "k" vezes "L". Esta é a chamada propriedade da multiplicação por constante. Essas ideias também valem para o quociente. Ou seja, o limite, quando "x" tende a "c", de "f" sobre "g", de f(x) sobre g(x), resulta no limite de f(x), quando "x" tende a "c", dividido pelo limite do g(x), quando "x" tende a "c". O que na nossa notação, na nossa representação aqui, vai ser simplesmente L / M. Evidentemente, vamos lembrar que o "M" sendo um denominador, o limite de g(x) quando 'x" tende a "c", não pode ser zero para que definamos esta propriedade. Temos ainda uma propriedade envolvendo a potência aqui nos limites. Vamos considerar o limite de uma função. Aqui, vamos usar f(x). Essa função elevada a um expoente. Vamos considerar um expoente racional. O expoente eu já vou escrever na forma fracionária. Lembrando que isso pode incluir, evidentemente, os valores inteiros. Portanto, o limite de f(x) elevado a uma fração r / s, com "r" e "s" inteiros, "s", evidentemente, não sendo zero. Este limite da função elevado a um expoente vai ser igual ao limite da função, o resultado, elevado ao mesmo expoente. E na nossa representação teríamos, então, "L" elevado ao expoente "r / s". Ou seja, o limite da função elevado ao expoente é igual ao limite da função elevado ao expoente. A ideia é que você use estas propriedades e simplifique uma série de cálculos que vão aparecer futuramente. Graficamente, se você analisar estas situações, isso também vai se tornar bastante intuitivo. Tente fazer essas observações para ver que, de fato, isso tudo funciona direitinho. Até o próximo vídeo!