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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 1
Lição 5: Como determinar limites usando as propriedades algébricas dos limites: propriedades dos limites- Propriedades dos limites
- Limites de funções combinadas
- Limites de funções combinadas: função definida por partes
- Limites de funções combinadas: somas e diferenças
- Limites de funções combinadas: produtos e quocientes
- Limites de funções compostas
- Teorema para limites de funções compostas: quando as condições não são satisfeitas
- Limites de funções compostas: o limite interno não existe
- Limites de funções compostas: o limite externo não existe
- Limites de funções compostas
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Limites de funções combinadas: função definida por partes
Mesmo quando os limites de duas funções não existirem em um ponto, o limite de sua soma ou produto ainda pode existir.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Calcule estes três limites. Como sempre, sugiro que você pause o vídeo
e tente fazer. Vamos começar pelo primeiro: limite de f(x) mais g(x)
quando x tende para -2. Podemos calcular cada um dos dois limites
para f e para g e depois somar os dois. Mas nós podemos encontrar um pequeno problema aqui. Quando x tende a -2 na função f(x), olhando aqui no gráfico parece que quando vamos nos aproximando de -2 para x pela esquerda a função parece tender a 1, mas se x tende a 1 pela direita,
para f(x), parece que o valor da função
tende a 3. Então o limite de f(x)
quando x tende a -2 não existe e o mesmo acontece para g. Quando x tende a -2
na função g pela direita, o valor da função tende a 1. Mas quando x tende a -2 pela esquerda,
a função tende a 3, então o limite de g(x)
quando x tende a -2 não existe. Contudo, calculando separadamente os limites pela esquerda e pela direita, podemos chegar a alguma conclusão. O limite com x tendendo ao -2 pela esquerda
do f(x) mais g(x) e o limite do f(x) mais g(x)
quando x tende a -2 pela direita. Vamos calcular aqui. Olhando para f quando x tende a -2 pela esquerda,
f tende a 1 e g(x), quando x tende a -2 pela esquerda,
o valor do g tende a 3. Desta forma esse primeiro limite vale 1 mais 3,
que é 4. Agora, esse limite quando x tende a -2 pela direita em f nós vemos que quando x se aproxima de -2,
f tende a 3 e em g quando x se aproxima -2 pela direita,
g tende ao valor 1. Com isso, o limite que nós estávamos procurando de f(x) mais g(x)
com x tendendo a -2 existe e vale 4. Agora o outro exemplo. Com x tendendo a 1
vamos fazer a mesma coisa que já fizemos. Olhando para f, quando x se aproxima de 1
pela esquerda ou pela direita temos valores diferentes
para os quais f tende. Então esse limite não existe, mas o limite para a soma pode existir,
assim como aconteceu no item anterior. Então vamos analisar o limite quando x tende a 1 pela esquerda do f(x) mais g(x). Para f, quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f tende a 2. Agora, na função g, quando x tende a 1 pela esquerda,
g tende a zero. Então o limite da soma
com x tendendo a 1 pela esquerda vai ser 2. Agora o limite quando x tende a 1 pela direita
do f mais g, vamos olhar para f. Quando x tende a 1 pela direita,
f tende a -1. Por outro lado g,
quando x tende a 1 pela direita, g tende a zero. Então o limite da soma
é a soma dos limites e aqui vai dar -1, diferente do anterior,
já que o limite pela esquerda e o limite pela direita são diferentes, esse limite do segundo exemplo não existe. O último exemplo: limite com x tendendo a 1
de f(x) vezes g(x). Vamos fazer a mesma coisa
e ver os limites laterais. Quando x tende a 1 pela esquerda
do f(x) vezes g(x), para f(x) quando x tende a 1 pela esquerda,
f tende a 2. Em g, quando x tende a 1 pela esquerda,
g tende a zero, e 2 vezes zero é zero. O limite do produto é o produto dos limites. Agora olhando o limite quando x tende a 1
pela direita de f vezes g, para f quando x tende a 1 pela direita, f tende a -1, porém, para g, quando x tende a 1 pela direita,
g tende a zero. Agora -1 vezes zero dá zero. Então o limite com x tendendo a 1
pela esquerda e pela direita é igual. Assim, o limite com x tendendo a 1
de f vezes g vale zero. E existe. Estes três foram bons exemplos para você verificar
que às vezes o limite de um componente não existe, mas o limite do cálculo todo
é possível de ser encontrado. Até o próximo vídeo!