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Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 1
Lição 6: Como determinar limites usando as propriedades algébricas dos limites: substituição direta- Limites por substituição direta
- Limites por substituição direta
- Limites indefinidos por substituição direta
- Substituição direta em limites que não existem
- Limites de funções trigonométricas
- Limites de funções trigonométricas
- Limites de funções definidas por partes
- Limites de funções definidas por partes
- Limites de funções definidas por partes: valor absoluto
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Limites de funções definidas por partes
Para encontrar um limite de uma função definida por partes, nós devemos nos certificar de que estamos usando a definição adequada da função, dependendo de onde está o valor do qual x se aproxima.
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Via Google Tradutor:
- [Instrutor] Vamos pensar um pouco sobre os limites de funções por partes que são definidas algebricamente como nosso f de x bem aqui. Pause este vídeo e veja se você consegue descobrir quais seriam esses vários limites, alguns deles são de um lado e outros são de limites regulares ou de dois lados. Tudo bem, vamos começar com este primeiro, o limite quando x se aproxima de quatro, a partir de valores maiores que iguais a quatro, então é isso que mais nos diz. E assim, quando x é maior que quatro, nosso f de x é igual à raiz quadrada de x. Então, quando estamos nos aproximando de quatro da direita, estamos realmente pensando nessa parte da função. E assim, isso será igual à raiz quadrada de quatro, mesmo que, às quatro, f de x seja igual a isso, estamos nos aproximando de valores maiores que quatro, estamos nos aproximando da direita, então use esta parte da nossa definição de função e, portanto, isso será igual a dois. Agora, e o nosso limite de f de x, quando nos aproximamos de quatro da esquerda? Bem, então usaríamos essa parte da nossa definição de função. E então isso será igual a quatro mais dois sobre quatro menos um, que é igual a 6 sobre três, que é igual a dois. Então, se queremos dizer qual é o limite de f de x quando x se aproxima de quatro, esse é um bom cenário aqui, porque da esquerda e da direita, à medida que nos aproximamos de x é igual a quatro, estamos nos aproximando do mesmo valor e sabemos que, para que o limite de dois lados tenha um limite, você deve estar se aproximando da mesma coisa da direita e da esquerda. E nós somos, e então isso será igual a dois. Agora, qual é o limite quando x se aproxima de dois de f de x? Bem, quando x se aproximar de dois, estaremos completamente nesse cenário bem aqui. Agora, coisas interessantes acontecem em x igual a um aqui, nosso denominador vai a zero, mas em x é igual a dois, essa parte da curva será contínua, para que possamos substituir o valor, será dois mais dois, mais de dois menos um, que é quatro sobre um, que é igual a quatro. Vamos fazer outro exemplo. Portanto, temos outra função por partes e, então, vamos pausar nosso vídeo e descobrir essas coisas. Tudo bem, agora vamos fazer isso juntos. Então, qual é o limite quando x se aproxima do negativo da direita? Portanto, se estamos nos aproximando da direita, quando somos maiores ou iguais a negativos, estamos nesta parte de nossa função por partes e, assim, diríamos: isso vai se aproximar, serão dois, para o poder negativo, que é igual a metade. E se estamos nos aproximando da esquerda? Bem, se estamos nos aproximando da esquerda, estamos neste cenário bem aqui, estamos à esquerda de x igual a negativo e, portanto, isso será igual ao seno, porque estamos neste caso, para nossa função composta, de um negativo mais um, que é o seno de zero, que é igual a zero. Agora, qual é o limite de dois lados quando x se aproxima do negativo de g de x? Bem, estamos nos aproximando de dois valores diferentes, da direita e da esquerda. E se nossos limites unilaterais não estão se aproximando do mesmo valor, então esse limite não existe. Não existe. E qual é o limite de g de x, quando x se aproxima de zero da direita? Bem, se estamos falando de aproximar-se de zero da direita, neste caso estaremos bem aqui, zero está definitivamente nesse intervalo e, nesse intervalo, isso aqui será contínuo, e assim podemos simplesmente substituir x igual a zero por lá, então será dois no zero, o que é, de fato, igual a um, e pronto.(5 votos)
Quando sai a tradução para português?(4 votos)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - Vamos olhar um pouco para limites de funções definidas por mais de uma expressão. Pause o vídeo e procure achar, você, os valores destes limites pedidos aqui. Muito bem, vamos começar por este. Limite de f(x) quando "x"
tende a 4 pela direita. Quanto será que dá? Lembre-se de que estamos
falando de "x" tendendo a 4 a partir de valores maiores do que "x". Vamos para a definição da função "f". Ela diz que para "x" maior que 4,
f(x) vale √x. Então, se formos aproximando valores de "x", do número 4, a partir de valores maiores do que 4, ou seja, pela direita, nós estamos, então,
tratando desta parte da função, porque ela vale para valores
de "x" maiores que 4. Então, este limite vai ser igual a √4. Observe mais uma vez que nós estamos tratando de valores maiores do que 4, por isso estamos usando esta parte da definição da função. Então, este primeiro limite é igual a 2. Agora, vamos calcular o limite de
f(x) quando o "x'' tende a 4 pela esquerda, ou seja, a partir de valores
menores do que 4. Vamos usar esta parte da
definição da nossa função, já que estamos tratando
de valores menores do que 4. Teremos, então, (4 + 2) sobre (4 - 1), o que resulta em 6/3, e isso dá 2. Este limite é 2. Agora, temos a pergunta aqui, o que dá o limite de f(x) quando "x" tende a 4? Observe que quando calculamos os
limites com "x" tendendo a 4 pela direita e pela a esquerda,
chegamos aos mesmos valores. Desta forma, o limite quando "x" tende a 4 do f(x) vale o mesmo número, que é 2. Ou seja, quando "x" tende a 4, não importa se pela esquerda ou pela direita, a função tende para o mesmo valor,
que é 2 neste caso. Agora, simplesmente o limite de f(x)
quando "x" tende a 2. Quando "x" tende a 2, estamos falando, sem dúvida, desta primeira parte na definição da função. Note uma coisa, que se "x" for igual a 1,
o denominador aqui vai a zero. Mas, se "x = 2", essa parte da função é contínua, então podemos substituir o valor de "x",
e teremos (2 + 2) / (2 - 1), que dá 4/1, ou simplesmente 4,
este limite vale 4. Mais um exemplo. Temos mais uma função definida por mais de uma expressão. Pause o vídeo e tente achar esses limites. Qual é, então, o limite de g(x) quando "x" tende a -1 pela direita, ou seja, a partir de valores
maiores do que -1. Olhando para a definição da função, estamos, claramente,
tratando da segunda parte porque é onde o "x" estaria entre -1 e 5. O limite em questão, então, vai ser 2⁻¹ E isso daí então, 1/2, este limite vale meio. Agora, o limite de g(x) quando "x" tende a -1 pela esquerda. Então, estamos falando da primeira parte da definição da função. Como sen(x + 1) vai ser contínuo
em todo o domínio, basta substituir o "x" por -1,
vamos ter sen(-1 + 1), ou seja, sen(0). O sen(0) é zero. E agora a pergunta. Qual é limite quando "x" tende a -1,
da função g(x)? Nós já calculamos os limites pela esquerda pela direita quando "x" tende a -1, e encontramos resultados diferentes. Quando os limites à esquerda e à direita para o mesmo valor dão valores diferentes, então, o limite em questão agora não existe. Agora vamos para o limite do g(x)
quando "x" tende a zero pela direita. Falando de "x" tendendo a zero pela direita, estamos aqui no intervalo da segunda
parte da definição da função. Neste intervalo, 2˟ é contínua, então, basta substituir o "x"
pelo valor em questão. Ou seja, esse limite vai ser 2⁰, que dá 1. Até o próximo vídeo!