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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 1
Lição 6: Como determinar limites usando as propriedades algébricas dos limites: substituição direta- Limites por substituição direta
- Limites por substituição direta
- Limites indefinidos por substituição direta
- Substituição direta em limites que não existem
- Limites de funções trigonométricas
- Limites de funções trigonométricas
- Limites de funções definidas por partes
- Limites de funções definidas por partes
- Limites de funções definidas por partes: valor absoluto
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Limites de funções trigonométricas
Assim como com outras funções comuns, nós podemos usar substituição direta para calcular limites de funções trigonométricas, contanto que as funções sejam definidas no limite.
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- On the fourth example could I say that the limit goes to the "infinite positive"?(1 voto)
- Shouldn't limit of tan(x) when x approaches π/2 be infinite?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA22JL - Neste vídeo, vamos estudar limites
envolvendo funções trigonométricas. Vamos começar pelo limite de seno de “x”
quando ele tende a “pi” (π). Sugiro que você pause o vídeo
e ache a resposta primeiro. Vamos nos lembrar de que seno e cosseno de “x”
são definidos para quaisquer valores reais de “x”. Podemos colocar qualquer número aqui para o “x”
e nós conseguiremos calcular o seno desse valor. Além disso, as funções seno e cosseno
são contínuas para todo o domínio dos reais. Então, para seno de “x”,
já que é uma função contínua, e como o seno está definido
para π, para o seno de π o limite, com “x” tendendo a π, do seno de “x”,
é igual ao valor da função nesse valor de “x”, ou seja, é igual
ao seno de π. E nós sabemos que
o seno de π é zero. Vamos fazer algo parecido
com o cosseno de “x”. Vamos, então, olhar para
o limite do cosseno de “x”, com “x” tendendo a
π sobre 4. Mais uma vez, o cosseno é definido
para todos os valores reais de “x” e, também, é uma
função contínua. Então, este limite é simplesmente o valor
de cosseno quando “x” vale π sobre 4. Isso vai ser igual à
raiz quadrada de 2 sobre 2. Primeiro quadrante, isso
significaria o cosseno de 45 graus. Em geral, se eu estiver
lidando com seno ou cosseno, o limite, quando “x” tende a um valor “a”
do seno de “x”, vai ser igual ao seno de “a”, e isso vale para
qualquer número real “a”. Para o cosseno de “x”,
vale da mesma maneira. Limite do cosseno de “x” quando “x” tende a um
valor real “a” é igual ao cosseno desse número “a”. Isso acontece porque as funções seno e cosseno
são contínuas e definidas para todos os números reais. São contínuas em
seu domínio inteiro. Vamos, agora, avançar um pouquinho e analisar
situações que envolvem funções trigonométricas de uma maneira um
pouco mais interessante. Vamos obter o limite com “x”
tendendo a π da tangente de “x”. O que vai
acontecer aqui? Observe que o limite da tangente de “x”,
com “x” tendendo a π, pode ser reescrito como o limite
de seno de “x” sobre o cosseno de “x”. Lembre-se de que o seno e o cosseno
são ambos definidos para “x” valendo π. Então, podemos
substituir o “x” por π. Aqui, esse limite, então, fica igual ao seno
de π, dividido pelo cosseno de π e isso é igual a
zero dividido por -1, que é zero. Perfeito. O limite da tangente de “x”
quando ele tende a π é zero. Agora, qual seria o limite da tangente de “x”
quando ele tende a π sobre 2? Vamos fazer a
mesma análise. Estamos falando do limite de seno de “x”
sobre cosseno de “x”, quando ele tende a π sobre 2. Agora, o seno de π sobre 2 é 1.
Por outro lado, o cosseno de π sobre 2 é zero. Fazendo a devida substituição, esse
limite seria igual a 1 dividido por zero, que sabemos
que não existe. Esse limite não existe e veja que também π sobre 2
não faz parte do domínio da função tangente de “x”. De maneira geral, para
as funções trigonométricas, seno, cosseno, tangente,
secante, cossecante e cotangente, se nós estivermos tratando
de um limite de alguma delas para o “x” tendendo ao número
que pertence ao domínio delas, esse limite será o valor da função
com o “x” valendo aquele valor. Por outro lado, se em alguma delas
nós precisarmos calcular o limite quando “x” tende a um valor
que não está em seu domínio, há uma boa chance de
esse limite não existir. De fato, aqui nesse nosso último
cálculo não existe o limite, e, de fato, π sobre 2 não faz parte
do domínio da função tangente. No gráfico da função tangente, nós temos
uma assíntota vertical em π sobre 2. Vamos pensar agora no limite da cotangente
de “x” quando ele tende a π. Como sempre, pause o vídeo.
Tente calcular você sozinho, primeiro. Vamos lá? Primeiro, vamos lembrar que cotangente de “x” é
cosseno de “x” sobre seno de “x”, é o inverso da tangente, portanto, o inverso de seno
sobre cosseno. Então, queremos o limite quando o “x”
tende a π de cosseno sobre seno de “x”. π, que está no domínio
da função cotangente de “x”, basta substituir π no cálculo de cosseno sobre seno e nós
vamos ter -1 sobre zero, ou seja, esse limite não existe. E, de fato, π não está no
domínio da função cotangente. Se você fizer o gráfico da função cotangente,
você vai ver que esse limite não existe de fato. Uma vez mais, π não está
no domínio da cotangente, então esse limite tem uma
boa chance de não existir. Entretanto, quando “x” tende a um valor
que está no domínio da função trigonométrica, o limite é o valor da
função naquele ponto. Particularmente, para seno e cosseno,
ambas são definidas para todos os números reais e são contínuas em
todo o seu domínio. Então, qualquer limite envolvendo
a função seno ou a função cosseno existe, e o valor dele é o valor
da função naquele ponto. Até o próximo vídeo!