Limites por fatoração

RKA2G - Vamos dizer que temos uma função real definida por f(x) = x² + x - 6, sobre x - 2. E queremos ver o que é o limite de f(x) quando "x" tende a 2. A primeira tentativa que talvez você faça é verificar o que acontece com f(2), ou seja, quando "x" vale 2. Isso nem sempre vai ser o limite, mesmo que a função esteja definida nesse ponto, mas é um bom jeito de começar. Se fizermos x = 2, vamos ter f(2), no numerador, igual a: 2² = 4, mais 2, menos 6. O numerador seria zero. E o denominador: 2 - 2 = 0. Ou seja, esta função não é definida para x = 2. Se a função fosse definida para x = 2 sendo uma função contínua, de fato, o limite seria o valor da função neste ponto. Mas acabamos de ver que neste não é o caso. Vemos claramente que a função não é definida para x = 2. Vamos ver se podemos simplificar um pouco isto. Uma coisa que pode ter chamado imediatamente a sua atenção no numerador é o fato que ela pode ser fatorada. E, voltando um pouquinho aos conceitos da álgebra, isto é um trinômio do segundo grau e pode ser fatorado se encontrarmos dois números cujo produto seja -6 e cuja soma seja +1. Com um pouco de tentativa, verificamos que esses números são 3 e -2. Ou seja, a forma fatorada deste trinômio é: (x + 3) vezes (x - 2), e tudo isso sobre (x - 2). Considerando que o "x" não vá ser 2, estes fatores (x - 2) se cancelam. E, efetuando o cancelamento, teremos que isso tudo vai ser igual a x + 3. Isso vale para qualquer valor de "x", exceto x = 2. Reescrevendo a função, temos f(x) = x + 3, desde que "x" seja diferente de 2 e f(x) é indefinida caso x = 2. Com esta definição, temos mais clareza sobre f(x) e, para fazer um gráfico que a represente, fica muito mais fácil. Vou colocar aqui os eixos do plano cartesiano. O eixo vertical y = f(x) e, aqui, o eixo das abcissas, o eixo horizontal, que vamos indicar por "x". Estamos querendo representar graficamente a função "f". Vou localizar aqui alguns valores: 1, 2, 3, aqui no eixo "y". Temos uma intersecção no eixo "y" em 3 e o coeficiente angular é 1. Ou seja, cada unidade que variamos para o "x", variamos igualmente uma unidade para o "y". E isso é definido para todos os valores de "x", exceto quanto "x" vale 2. Quando x = 2, temos uma indefinição. Vou indicar aqui, com a bolinha vazia, que não pertence ao domínio da função. Fazendo aqui com um pouco de cuidado, temos o gráfico que representa a função y = f(x), que é uma reta, mas não está definida no ponto x = 2. Agora que temos uma representação da função e podemos analisá-la um pouco mais calmamente, voltemos à pergunta: qual é o limite, quando "x" tenda a 2, para f(x)? Podemos olhar desta vez graficamente. Quando "x" se aproxima de 2 a partir de valores menores do que 2, ou seja, digamos que "x" tende a 2 pela esquerda, aqui é x = 2 e, quando "x" vai se aproximando pela esquerda, digamos que aqui seja 1,7, o f(x) está bem ali. Se x = 1,9, f(x) está bem ali. Isso parece nos indicar que o limite está se aproximando deste valor aqui. Do mesmo modo, se aproximamos o "x" de 2 vindo de valores maiores do que 2, ou seja, estamos olhando "x" tendendo a 2 pela direita, vamos supor aqui um valor maior que 2, digamos 2,5, o valor do f(x) está bem ali. Se chegamos a um valor mais perto de 2, o valor do f(x) estaria bem ali. E mais uma vez, parece que estamos nos aproximando deste valor aqui. Em outras palavras, se vamos nos aproximando deste ponto a partir de valores de "x" maiores do que 2, parece que estamos nos aproximando deste valor para f(x). Por outro lado, se nos aproximarmos deste ponto pelo gráfico vindo de valores de "x" menores do que 2, também tendemos a um f(x) com aquele valor. E este valor sobre o qual estamos falando é exatamente o valor do f(x) se "x" fosse 2. Como, simplificado, f(x) = x + 3, se o "x" pudesse ser 2, 2 + 3 = 5, ou seja, estamos falando aqui que, quanto mais nos aproximamos de 2 para o valor de "x", o f(x) mais se aproxima do valor 5. Estamos olhando aqui para a equação da reta que apareceu para representar a função f(x) com coeficiente angular 1 e intersecção em "y" no 3 e podemos deduzir que, quando "x" se aproxima de 2, f(x) se aproxima de 5. Podemos ter uma ideia sobre isso também numericamente. Eu vou pegar a calculadora. Vou pegar esta expressão, que define a função. Esta expressão é equivalente à expressão que define originalmente a função, desde que "x" não seja 2. Se eu tentar um valor de "x" muito próximo de 2, como 1,999999, mais 3, vamos ter um resultado, evidentemente, muito perto de 5, que dá 4,99999. Muito próximo de 5, portanto. Poderia colocar mais noves aqui, chegando mais próximo de 2, e chegaríamos, para o f(x), ainda mais próximo de 5. Se nos aproximamos a 2 para valores de "x" um pouco maiores do que 2, por exemplo 2,00001, mais 3, que é como definimos a função, vamos ter um valor também muito próximo de 5. Estamos chegando bem próximos de 5, como já esperado. Ou seja, numericamente ou graficamente, verificamos que, quando "x" tende a 2, f(x) tende a 5. Então, o limite de f(x), quando "x" tende a 2, é 5. Até o próximo vídeo!