Limite de uma função trigonométrica usando a identidade pitagórica

RKA7MP - Neste vídeo, queremos calcular o limite com o θ (teta) tendendo a zero de 1 menos o cosseno de θ sobre 2 vezes seno ao quadrado de θ. Ao observar este limite, provavelmente, você vai cair na tentação de dizer o seguinte: como θ está tendendo a zero, e sabemos que o cosseno de zero é definido, assim como seno ao quadrado de zero também, nós poderíamos simplesmente substituir este zero e calcular este limite tranquilamente. Vamos tentar fazer isso. Isto vai ser igual ao limite, com o θ tendendo a zero, de 1 menos o cosseno de θ, tudo isto aqui sobre o limite, com o θ tendendo a zero, de 2 vezes o seno ao quadrado de θ, porque, aplicando esta propriedade do limite, nós conseguimos calcular o limite destas duas funções de forma independente, já que tanto o cosseno de zero é definido quanto o seno de zero é definido. Aplicando agora o limite, quando θ tende a zero, de 1 menos o cosseno de θ, nós teríamos 1 menos o cosseno de zero, sobre 2 vezes o seno ao quadrado de zero, já que a gente também vai aplicar o limite com o θ tendendo a zero a esta função aqui. Neste caso, a gente teria o que exatamente? O cosseno de zero é 1. Assim, a gente teria 1 menos 1, e 1 menos 1 é zero, sobre, seno de zero é zero, zero ao quadrado é zero, e 2 vezes zero também é zero, e é aqui que nós temos um problema. Se a gente tivesse algum número dividido por zero, a gente poderia dizer que o limite desta função não existe. Mas não é o caso, a gente tem zero sobre zero, e zero sobre zero é uma forma indeterminada. Então, a gente não pode falar nada a respeito desta forma. Existe a possibilidade de que o limite desta função exista, mas esta não é a forma certa de fazer este cálculo. "Professor, como eu poderia fazer este cálculo?" É simples. Nós vamos definir uma certa função e fazer algumas modificações nesta função de maneira que a gente encontre uma função que seja idêntica a esta exceto pelo fato de que esta função vai ser definida no zero, coisa que esta aqui não vai ser. Vamos fazer isto, vamos dizer que a gente tenha uma função f(x), em que esta função f(x) seja igual a 1 menos o cosseno de θ, sobre 2 vezes o seno ao quadrado de θ. Olhando aqui, de cara a gente já sabe que a gente tem zero sobre zero. A gente vai ter uma forma indefinida. Mas a gente consegue fazer algumas transformações nesta função, observando alguns detalhes importantes. Por exemplo, aqui no denominador, temos 2 vezes o seno ao quadrado de θ. E nós sabemos, pela relação trigonométrica através do teorema de Pitágoras, que seno ao quadrado de θ vai ser igual a 1 menos o cosseno ao quadrado de θ. Mas de onde saiu isto? O teorema de Pitágoras, como eu comentei, diz para a gente que o seno ao quadrado de θ mais o cosseno ao quadrado de θ é igual a 1, certo? Sendo assim, como eu falei, se a gente isolar este seno ao quadrado de θ, a gente vai ter isto aqui sendo igual a 1 menos o cosseno ao quadrado de θ. A gente pode fazer uma substituição aqui, a gente pode dizer que o seno ao quadrado de θ é igual a 1 menos o cosseno ao quadrado de θ. Isto vai ser igual a quanto? Vamos repetir isto que está no numerador. Assim, a gente vai ter 1 menos o cosseno de θ, sobre, 2 vezes, 1 menos o cosseno ao quadrado de θ. Nós chegamos aqui a uma forma que ainda não podemos fazer muitas coisas. 2 vezes 1 menos o cosseno ao quadrado de θ. Nós chegamos aqui a uma forma em que ainda não pode fazer muitas, certo? Porém, prestando bastante atenção, temos 1 menos o cosseno ao quadrado de θ. E nós sabemos 1² é igual a 1. Então, eu poderia dizer que este 1 aqui é 1², não é? Se eu tenho um número ao quadrado menos um número ao quadrado, temos uma diferença de quadrados, certo? A gente vai ter aqui a² menos b². E se nós temos uma diferença de quadrados aqui, nós podemos dizer que isto é igual a "a" mais "b" vezes "a" menos "b". Isto vai ser igual a 1 menos o cosseno de θ vou repetir isto que está no numerador, sobre 2 vezes isto aqui, só que vai ser 1 mais o cosseno de θ, vezes 1 menos o cosseno de θ. A gente vai ter aqui 1 mais o cosseno de θ, vezes 1 menos o cosseno de θ. Aí, a gente tem algo interessante já, porque a gente tem aqui no numerador 1 menos o cosseno de θ, e aqui no denominador a gente também tem 1 menos o cosseno de θ. Então, nós podemos anular este com este, sobrando apenas 1 sobre 2 vezes 1, mais o cosseno de θ. Nós podemos dizer que esta função f(x) é igual a 1 sobre, aplicando a distributiva aqui, nós vamos ter 2 mais 2 vezes o cosseno de θ. Só que aqui a gente precisa tomar alguns cuidados. Quais cuidados? Esta função, se a gente substituir aqui por zero, a gente vai ter uma função definida em θ igual a zero. Afinal de contas, o cosseno de θ é igual a 1, aí a gente vai ter 1 sobre 2 mais 2, que é igual a 4. Só que a função original que a gente está aplicando limite não é definida em θ igual a zero, porque, senão, a gente tem algo indefinido. Porém, esta função vai ter o mesmo limite que esta outra, quando θ tende a zero. Para deixar tudo bem claro e bem evidente, nós podemos dizer que esta função vai ser igual a esta outra quando θ for diferente de zero. Aí sim, colocando esta limitação, temos esta função quando θ for diferente de zero, esta vai ser igual a esta. Aí, sim, nós podemos utilizar aqui para calcular o limite. Sabendo desta limitação, nós podemos ter uma função g(x) sendo igual a 1 sobre 2, mais 2, cosseno de θ. Aqui, nós vamos ter uma função g(x) que é igual a 1 mais 2, vezes o cosseno de θ, em que esta função vai ser igual a esta, quando θ for diferente de zero. Vamos aplicar o limite a esta função f(x). O limite, com o θ tendendo a zero, de f(x) vai ser igual ao limite com o θ tendendo a zero, lembre-se de que esta função g(x) é igual a esta função f(x) quando θ é diferente de zero. Sendo assim, nós podemos dizer que o limite de f(x) com o θ tendendo a zero, vai ser igual ao limite de g(x) com o θ tendendo a zero. Vamos colocar aqui o limite com o θ tendendo a zero de g(x). E isto vai ser igual, se a gente for aplicar o limite com o θ tendendo a zero a esta função, nós vamos ter algo sendo igual a "g", com "x" igual a zero, porque esta função é definida no "x" igual a zero, certo? Mas esta aqui não. Porém, os dois têm o mesmo limite. Se os dois têm o mesmo limite, a gente pode substituir o "x" por zero e fazer o cálculo. Assim, a gente vai ter 1 sobre 2, mais 2 vezes o cosseno de zero, o cosseno de zero, como eu falei, é igual a 1, assim, a gente vai ter 2 vezes 1, que é 2, 2 mais 2, a gente vai ter 2 mais 2, ou seja, 1 sobre 4. Este é o resultado desta função que é definida em um θ igual a zero… Perdão, aqui eu coloquei o "x" mas, na verdade, é o θ. Deixe-me só fazer esta substituição. Aqui nós temos o θ. Então, g(θ) é igual a 1 sobre 2, mais 2 vezes o cosseno de θ. A mesma coisa aqui também. Eu coloquei o "x", deixe-me só apagar, e vamos colocar o θ. Deixe-me só substituir tudo isto porque coloquei "x" mas, na verdade, é θ. Nós temos θ aqui, θ aqui e θ aqui também. A gente fez a substituição por θ, afinal de contas, a função g(θ) é definida no θ igual a zero, e o limite desta função é igual ao limite desta função. Por isso, nós podemos substituir e fazer este cálculo. Mas você poderia falar o seguinte para mim: "Professor, já que eu cheguei a esta forma, eu não poderia simplesmente substituir o θ por zero e fazer logo o cálculo?" Sim, você chegaria ao mesmo resultado. Mas quando estamos falando de matemática, é muito importante que você deixe tudo muito claro, porque esta função é diferente desta, esta outra é definida no θ igual a zero. Porém, esta outra não, já que esta é uma forma diferente desta função para todos os valores de θ que não são iguais a zero, porque, conforme nós vimos, esta função não é definida em um θ igual a zero. Por isso, é muito importante a gente fazer esta diferença e deixar bem claras estas coisas, beleza? Espero que você tenha gostado deste vídeo e um forte abraço!