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Cálculo Avançado AB

Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 1

Lição 8: Como selecionar procedimentos para determinar limites
Matemática
Cálculo Avançado AB
Limites e continuidade
Como selecionar procedimentos para determinar limites
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Estratégia para calcular limites

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Existem muitas técnicas para calcular limites que se aplicam sob diversas condições. É importante conhecer todas essas técnicas, mas também é importante saber quando aplicar cada uma delas.
O fluxograma abaixo o ajudará a calcular limites.
Um fluxograma tem as opções que vão de A até H, como se segue. Passo A, substituição direta. Tente calcular a função diretamente. Calcular f de a leva às opções de B até D. Opção B: f de a = b dividido por 0, aqui b não é zero. O resultado é uma assíntota (provavelmente). Exemplo: o limite de 1 dividido por x menos 1 conforme x se aproxima de 1. Faça uma análise com um gráfico ou tabela para saber mais sobre a função em x = a. Opção C: f de a = b, em que b é um número real. O resultado é o limite encontrado (provavelmente). Exemplo: limite de x ao quadrado conforme x se aproxima de 3 = 3 ao quadrado = 9. Opção D: f de a = 0 dividido por 0. O resultado está na forma indeterminada. Exemplo: limite de x ao quadrado menos x menos 2 dividido por x ao quadrado menos 2x menos 3 conforme x se aproxima de menos 1. Se você obteve a opção D, tente reescrever o limite em uma forma equivalente. Isso leva às opções de E até G. Opção E: fatoração. Exemplo: limite de x ao quadrado menos x menos 2 dividido por x ao quadrado menos 2x menos 2, conforme x se aproxima de menos 1, pode ser reduzido para o limite de x menos 2 dividido por x menos 3, conforme x se aproxima de menos 1, por fatoração e cancelamento. Opção F: conjugados. Exemplo: o limite da raiz quadrada de x menos 2 dividido por x menos 4, conforme x se aproxima de 4, pode ser reescrito como o limite de 1 dividido pela raiz quadrada de x mais 2, conforme x se aproxima de 4, usando conjugados e cancelamento. Opção G: identidades trigonométricas. Exemplo: o limite de seno de x dividido pelo seno de 2x conforme x se aproxima de 0 pode ser reescrito como o limite de 1 dividido pelo cosseno de x, conforme x se aproxima de 0, usando uma identidade trigonométrica. Usando as opções de E até G, tente calcular o limite nessa nova forma, voltando para a etapa A, substituição direta. A última opção é H, aproximação: quando todas as opções falharem, gráficos e tabelas podem ajudar a aproximar limites.
Ponto principal 1: a substituição direta é o melhor método. Use outros métodos somente quando este falhar, caso contrário você provavelmente estará tendo mais trabalho do que o necessário. Por exemplo, seria um trabalho extra fatorar uma expressão em uma forma mais simples se a substituição direta tivesse funcionado sem a fatoração.
Ponto principal 2: Há uma grande diferença entre obter b, slash, 0 e 0, slash, 0 (em que b, does not equal, 0). Quando você obtém b, slash, 0, isso indica que o limite não existe e provavelmente é ilimitado (uma assíntota). Em contraste, quando você obtém 0, slash, 0, isso indica que você não tem informações suficientes para determinar se o limite existe ou não, portanto essa é chamada de forma indeterminada. Se acabar aqui, você tem mais trabalho a fazer, que é onde a metade inferior do fluxograma entra em jogo.
Observação: há um método poderoso para encontrar limites chamado regra de L'Hôpital, que você vai aprender mais tarde. Ele não é abordado aqui porque ainda não aprendemos sobre derivadas.

Exercícios com substituição direta

problema 1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 3, divided by, square root of, x, plus, 5, end square root, minus, 3, end fraction
Queremos encontrar limit, start subscript, x, \to, 4, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis.
O que acontece quando usamos a substituição direta?
Escolha 1 resposta:

Problema 2
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, 2, s, e, n, squared, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction
Queremos encontrar limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, h, left parenthesis, x, right parenthesis.
O que acontece quando usamos a substituição direta?
Escolha 1 resposta:

Exercícios com a forma indeterminada

Problema 3
Justino tentou calcular limit, start subscript, x, \to, minus, 1, end subscript, start fraction, x, plus, 1, divided by, x, squared, plus, 3, x, plus, 2, end fraction.
Ao usar a substituição direta, ele obteve start fraction, 0, divided by, 0, end fraction.
Qual método seria aplicável na próxima etapa da resolução de Justino?
Escolha 1 resposta:

Problema 4
Catarina tentou calcular limit, start subscript, x, \to, minus, 3, end subscript, start fraction, square root of, 4, x, plus, 28, end square root, minus, 4, divided by, x, plus, 3, end fraction.
Ao usar a substituição direta, ela obteve start fraction, 0, divided by, 0, end fraction.
Qual método seria aplicável na próxima etapa da resolução de Catarina?
Escolha 1 resposta:

Resumindo

Problema 5
A professora de Fernanda entregou a ela um fluxograma (abaixo) e pediu-lhe para calcular o limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis para f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, minus, 25, divided by, x, squared, minus, 10, x, plus, 25, end fraction.
Um fluxograma tem as opções de A até H, como se segue. Passo A, substituição direta. Tente calcular a função diretamente. Calcular f de a leva às opções de B até D. Opção B: f de a = b dividido por 0, aqui b não é zero. O resultado é uma assíntota (provavelmente). Opção C: f de a = b, em que b é um número real. O resultado é o limite encontrado (provavelmente). Opção D: f de a = 0 dividido por 0. O resultado está na forma indeterminada. A partir da opção D, tente reescrever o limite em uma forma equivalente. Isso leva às opções de E até G. Opção E: fatoração. Opção F: conjugados. Opção G: identidades trigonométricas. Usando as opções de E até G, tente calcular o limite nessa nova forma, retornando ao passo A, substituição direta. A outra opção é H, aproximação: quando todo o resto falhar, gráficos e tabelas podem ajudar a aproximar limites.
Arraste as cartas abaixo para mostrar as etapas seguidas por Fernanda para calcular o limite.
A. Substituição direta
B. Assíntota
C. Limite encontrado
D. Forma indeterminada
E. Fatoração
F. Conjugados
G. Identidades trigonométricas
H. Aproximação

Problema 6
O professor de Ferdinando entregou a ele um fluxograma (abaixo) e pediu-lhe para calcular limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis para f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, square root of, 2, x, minus, 5, end square root, minus, 1, divided by, x, minus, 3, end fraction.
Um fluxograma tem as opções de A até H, como se segue. Passo A, substituição direta. Tente calcular a função diretamente. Calcular f de a leva às opções de B até D. Opção B: f de a = b dividido por 0, aqui b não é zero. O resultado é uma assíntota (provavelmente). Opção C: f de a = b, em que b é um número real. O resultado é o limite encontrado (provavelmente). Opção D: f de a = 0 dividido por 0. O resultado está na forma indeterminada. A partir da opção D, tente reescrever o limite em uma forma equivalente. Isso leva às opções de E até G. Opção E: fatoração. Opção F: conjugados. Opção G: identidades trigonométricas. Usando as opções de E até G, tente calcular o limite nessa nova forma, retornando ao passo A, substituição direta. A outra opção é H, aproximação: quando todo o resto falhar, gráficos e tabelas podem ajudar a aproximar limites.
Arraste as cartas abaixo para mostrar as etapas seguidas por Ferdinando para calcular o limite.
A. Substituição direta
B. Assíntota
C. Limite encontrado
D. Forma indeterminada
E. Fatoração
F. Conjugados
G. Identidades trigonométricas
H. Aproximação

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