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Estratégia para calcular limites

Existem muitas técnicas para calcular limites que se aplicam sob diversas condições. É importante conhecer todas essas técnicas, mas também é importante saber quando aplicar cada uma delas.

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RKA4JL - Em vários vídeos e exercícios nós cobrimos várias técnicas do cálculo de limites, mas é bom pensar em estratégias para determinar qual técnica usar ao calcular limites. E é disso que vamos tratar neste vídeo. O que você veio aqui é um diagrama de fluxo criado pela equipe da Khan Academy e eu vou essencialmente percorrê-lo. Pode parecer um pouco complicado de início, mas ele fará muito sentido, você vai ver. Nossa meta é calcular o limite de f(x) quando x tende a um valor "a". A primeira ideia é verificar o que acontece se substituirmos x por "a" na função em questão, ou seja, calcular f(a). Aqui nesta primeira parte temos que se f(a) é um valor real, nós terminamos o cálculo, possivelmente. A razão pela qual eu disse "possivelmente" é porque calcular o limite não é necessariamente igual a calcular o valor da função naquele ponto. Às vezes acontece de ser a mesma coisa e de fato essa é a definição do limite em uma função contínua, mas em outras situações eles não são a mesma coisa. Por exemplo, quando você tem uma função que tenha uma descontinuidade de salto, ou uma situação em que temos essa descontinuidade nestas situações, o limite não é o valor de f(a). Mas se os limites à esquerda e à direita têm o mesmo valor ou se estamos falando de uma função contínua é bom ter em mente a ideia de calcular o valor de f(a) para o limite. Então se você está trabalhando com funções quadráticas como esta, ou funções racionais como esta, onde há continuidade e funções trigonométricas, você consegue calcular o valor da função naquele ponto, obtendo um número real, provavelmente o valor do limite está calculado. Se você estiver lidando, por exemplo, com uma função definida por partes, definida por várias sentenças como vimos em outros vídeos, você deve ser um pouquinho mais cético a respeito do limite, ou se você sabe que em torno daquele ponto em que está calculando o limite existe algum tipo de salto ou de descontinuidade, você precisa ser um pouquinho mais cuidadoso ao calcular o limite. Mas em geral esta é uma regra interessante para o cálculo de limite. Se você está lidando com funções definidas por expressões que deixam claro que são contínuas, se você calcula o valor da função quando x variar, você calcula o limite dessa função quando x tende a "a". Mas vamos ver os outros cenários. Neste caso provavelmente você esteja lidando com uma assíntota vertical. O que queremos dizer com isso? Vamos supor uma situação como essa do limite com x tendendo a 1 de 1 sobre (x menos 1). Se tentar calcular o valor dessa expressão quando x vale 1, você vai ter 1 sobre (1 menos 1) e isso resulta em 1 sobre zero. Percebemos então que estamos caindo neste caso da assíntota vertical e o que queremos entender é o que está acontecendo ali. Procurando verificar se realmente temos uma assíntota vertical, podemos fazer alguns testes com alguns números ou então fazer um gráfico. Colocando aqui, então provavelmente temos uma assíntota vertical em x igual a 1. Vamos ver o que acontece. Se x é maior do que 1, então o denominador vai ser positivo e o meu gráfico vai ter algo como isso. Se fizesse um teste com vários valores eu verificaria esta curva. E para valores de x menores do que 1 teríamos o denominador negativo, então a função assumiria valores negativos e a curva ficaria com este aspecto aqui ao lado esquerdo da assíntota. De fato, temos aqui a assíntota vertical, mas há casos, casos bem especiais, em que não há uma assíntota vertical. Imagine uma expressão como essa 1 sobre (x menos x). Para qualquer valor de x teremos 1 sobre zero, ou seja, isso aqui fica indefinido. Mas este é um caso bem especial. Na maioria das vezes teríamos uma assíntota vertical aqui. Mas e se não tiver nenhuma das duas situações anteriores e eu calculo o valor da expressão e chego a zero sobre zero? E aqui está um exemplo disso. Veja: o limite quando x tende a -1 de (x² menos x menos 2) sobre (x² menos 2x menos 3). Se eu calcular o valor dessa expressão quando x vale -1, então vamos ver. (-1)² é 1, menos -1 é +1, portanto -2 e aqui o numerador resulta em zero e o denominador, (-1)², menos 2 vezes -1, +2, com -3 isso resulta em zero também, temos zero sobre zero. Temos aqui, então, uma indeterminação e devemos continuar a análise na parte direita do nosso fluxo. Aqui nessa parte temos algumas técnicas para atacar situações de limite que envolvem a indeterminação zero sobre zero. Em algumas semanas você vai aprender uma nova técnica para lidar com essa situação chamada "Regra de l'Hôpital" que envolve um pouquinho mais de cálculo. Mas agora vamos nos restringir a álgebra que nos permite resolver estas situações sem usar essas técnicas que ainda não conhecemos. A primeira coisa que você deve fazer, especialmente tratando de uma expressão racional como esta, na qual caímos na forma indeterminada do zero sobre zero, é tentar fatorar numerador e denominador. Tente verificar se dá para simplificar esta fração algébrica. Fatorando o trinômio do segundo grau do numerador ficamos com (x menos 2) vezes (x mais 1) e no denominador (x menos 3) vezes (x mais 1). Usamos a técnica da fatoração do trinômio do segundo grau e se isso está estranho para você, sugiro que assista aos vídeos sobre este assunto. Aqui é possível simplificar cancelando (x mais 1) com (x mais 1) considerando que x não vale exatamente -1 e ficamos com essa expressão equivalente a (x menos 2) sobre (x menos 3) para x diferente de -1. Isso é um rigor matemático necessário para podermos dizer que essa expressão mais simples é equivalente àquela lá de cima porque não é definida para x igual a -1. Agora podemos substituir x pelo valor -1. Vamos ficar com -1 menos 2 no numerador, que resulta em -3 e no denominador -1 menos 3, que resulta em -4 e isso é igual a ¾. Observe, então, que esta condição não existia explicitamente, mas nós a colocamos para poder usar a simplificação daquela expressão anterior e chegarmos numa expressão mais simples na qual podemos usar o valor -1 para x e calcular o valor da expressão que resulta em ¾, e podemos estar seguros de que o limite procurado é ¾. Estas ideias já permitem que você calcule vários limites, mas agora vamos a duas técnicas que podemos classificar como um pouquinho mais sofisticadas. Aqui, se caímos na forma indeterminada de zero sobre zero envolvendo funções irracionais, ou seja, aquelas em que a variável independente faz parte do radicando, pode ser interessante multiplicar numerador e denominador pelo conjugado da expressão irracional. Neste exemplo, o limite com x tendendo a 4 dessa expressão. Se eu colocar 4 no lugar do x teríamos ((raiz quadrada de 4) menos 2) sobre (4 menos 4) e isso dá zero sobre zero. Temos aqui então a indeterminação e precisamos de alguma outra técnica para tentar achar este limite. A ideia é tentar achar alguma técnica algébrica que nos permita simplificar de alguma forma esta expressão. Vou reescrevê-la: ((√x) menos 2) sobre (x menos 4) e agora vou multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado da ((√x) menos 2), que é a (√x) mais 2. Multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo valor, não temos a equivalência da fração obtida e isso vai nos dar... Observe que no numerador temos um produto notável (a menos b) vezes (a mais b), o que resulta no primeiro ao quadrado menos o segundo ao quadrado, ou seja, a (√x²) menos 2², que é 4. Simplificando, a √x² é simplesmente x, então temos aqui (x menos 4) sobre (x menos 4 vezes (√x) mais 2). Observe que agora podemos cancelar o numerador (x menos 4) com o fator (x menos 4) do denominador e o que temos aqui é uma expressão equivalente a 1 sobre ((√x) mais 2), isso é válido se x não valer 4. Agora podemos verificar o que acontece com o limite procurado se eu simplesmente substituir x por 4 nesta nova expressão. Nós vamos saber a que valor a função está se aproximando quando x tende a 4. Veja que a função não está definida para x igual a 4, mas é possível ver para que valor tende a função neste caso. Então 1 sobre ((√x) mais 2) fica 1 sobre ((√4) mais 2), que é 1 sobre (2 mais 2), então ¼. Agora você pode estar seguro de que este vai ser o limite procurado. Se fizer o gráfico da função definida por essa expressão você vai ver realmente uma descontinuidade de ponto aqui. Tem um salto quando x vale 4. Mas ao fazer esta manipulação algébrica e simplificar cancelando (x menos 4), esse salto desaparece e é isso que estamos fazendo: é verificar qual o limite quando x aproxima-se desta situação do salto. Agora a última técnica que temos aqui é utilizar identidades trigonométricas. Então, por exemplo, se eu tenho este limite com x tendendo a zero de (sen x) sobre (sen 2x), se eu substituo x por zero vou ter sen0, que é zero, e seno 2 vezes zero, que é sen0, também dá zero. Vou ter, de novo, zero sobre zero. Estamos novamente no caso da indeterminação zero sobre zero. Vamos então reescrever essa expressão. Veja que ela é equivalente ao limite com x tendendo a zero de sen x sobre... sen 2x posso reescrever como 2(sen x cos x). Aqui sen x com sen x podemos cancelar desde que x não seja zero, veja que estamos falando do x tendendo a zero, aproximando-se de zero, mas não necessariamente x igual a zero, ou seja, ali no gráfico da função original (sen x) sobre (sen x) existe um salto quando x vale zero, mas aqui estamos tratando do x aproximando-se a zero, então ele não vale exatamente zero e nós podemos fazer este cancelamento e olhar para a nova expressão obtida. Temos então o limite quando x tende a zero de 1 sobre (2 cos x) e estamos de volta nesta condição identificada pela cor verde. Podemos calcular o valor de 1 sobre (2 cos x) quando x vale zero. Você sabe que cos0 é 1, e então 1 sobre (2 vezes 1), então ½. Se nenhuma destas técnicas funcionar, muito em breve você terá novas técnicas envolvendo cálculo e que vão permitir que você calcule certos limites. Mas enquanto não chega lá, depois de todas essas técnicas você cai nessa última linha, que é fazer aproximações, e a aproximação você pode fazer numericamente tentando valores cada vez mais próximos do número cujo limite você está tentando obter. Por exemplo, se você estiver tentando obter um limite com x tendendo a zero tente usar x como 0,0000001, tente -0,0000001, valores bem próximos do zero, e analise o que acontece ali. Mas isso em último caso, é o último esforço. Até o próximo vídeo!