Limite de (1-cos(x))/x conforme x se aproxima de 0

é o que vamos fazer nesse vídeo é calcular o limite com x tendendo a zero de 1 - o cosseno de x sobre X para isso vamos usar um limite muito importante que já foi demonstrado em um vídeo especialmente dedicado a ele que é limite com x tendendo a zero de seno de x sobre x resulta em um existe um vídeo dedicado a demonstração deste famoso limite e para demonstrar esse limite usamos o teorema do Sanduíche Vamos então ver o que acontece no limite que queremos calcular primeiro ou manipular um pouco essa expressão primeiro eu vou multiplicar o numerador e denominador por um mais o cosseno de x estão multiplicando numerador e denominador pela mesma quantidade então não alteram a fração que eu já tinha é comum multiplicar por um vamos reescrever e simplificando observando que no numerador um menos o cosseno de x vezes um mais o cosseno de x e aplicando o produto notável isso resulta em um menos o cosseno ao quadrado de X no denominador vamos ter X e o mais cosseno de x mas o que é um menos o cosseno ao quadrado de X existe aquela identidade trigonométrica chamada a relação trigonométrica fundamental que diz que isso resulta exatamente em cena o quadrado x vamos reescrever aqui isso tudo vai ser igual o limite com x tendendo a zero e o seno ao quadrado de x é o seno difícil vezes ou sendo desses aqui eu vou separar em duas partes vou ter o primeiro seno de x sobre o fator x do denominador vezes o segundo fator sendo DX do numerador sobre um + cosseno de x feita esta pequena manipulação algébrica que utilizam Inclusive a relação trigonométrica fundamental temos aqui o limite do produto destas duas expressões que podem ser reescrito como o produto dos limites dessas expressões Então posso escrever aqui o limite com x tendendo a zero de seno de x sobre x vezes o limite com x tendendo a zero desse é sobre um + cosseno de x agora esta primeira parte esse primeiro limite já foi provado em outro vídeo que vale exatamente um é o limite bem famoso então todo esse limite que nós estamos estudando vai ser igual simplesmente este segundo limite que temos aqui estudando aqui essa expressão quando X tende a zero você não quiser É zero e no denominador o cosseno de 0 é um então um mais um dois mas zero do numerador dividido por 2 a 0 e se limite todo então tende a zero e finalmente temos então que o limite tudo que estamos procurando aqui vai ser 1 x 0 portanto zero então usando um pouquinho de técnica algébrica e da relação trigonométrica fundamental conseguimos calcular o limite com se estendendo a zero de 1 - o cosseno de x sobre x e esse limite resulta em exatamente zero e eu sugiro que você tem que verificar isso graficamente faça o gráfico dessa função definida por um menos cosseno de x sonn o e procure verificar o que acontece com o limite com x tendendo a zero é um outro ponto de vista bastante interessante até o próximo vídeo