Limite de sen(x)/x conforme x se aproxima de 0

RKA4JL - O que vamos fazer nesse vídeo é provar que o limite com θ [teta] tendendo a zero de sen de θ sobre θ é igual a 1. Vamos usar uma série de técnicas trigonométricas. Aqui temos o círculo unitário em branco. Qual é o comprimento deste segmento cor de laranja? Observe que esse comprimento é exatamente a ordenada do ponto onde o raio do círculo intersecta o círculo e o segmento. Por definição das funções trigonométricas, o comprimento deste segmento é exatamente o seno do ângulo θ e de fato, aqui estamos falando do valor absoluto, o módulo do sen θ. E este segmento azul? Posso expressar o comprimento dele em termos de alguma função trigonométrica? Vamos nos lembrar de uma coisa: o que é a tangente do ângulo θ? Lembre-se de que a tangente do ângulo θ é a medida do cateto oposto ao ângulo θ dividida pela medida do cateto adjacente ao ângulo θ. Se olhamos para este triângulo na borda, temos nosso ângulo θ em radianos, este segmento azul é justamente o cateto oposto ao ângulo θ e o cateto adjacente ao ângulo θ é justamente o raio do círculo, que é 1. Então aqui a tangente do ângulo θ é exatamente a medida do cateto oposto ao ângulo θ, e tal qual antes, este é o valor positivo para a tangente aqui no primeiro quadrante. Mas eu quero trabalhar com situações envolvendo o primeiro e o quarto quadrantes, então eu vou usar o valor absoluto da tangente do ângulo θ. Vamos pensar sobre alguns triângulos e as suas áreas. Deixe-me desenhar um triângulo aqui para começar e um triângulo acompanhando aqui como se fosse uma fatia dessa torta do círculo. Neste triângulo, vamos pensar sobre sua área. Vou hachurar a área dele para que fique fácil de entender. Qual é a expressão que determina essa área? Lembre-se de que para calcular a área de um triângulo podemos fazer ½ vezes a base vezes altura. Sabemos que a altura é justamente sen θ e sabemos também que a base é o raio do círculo unitário, que é 1. Então a área que vai ser ½ vezes a base, que é 1, vezes sen θ, que é a altura. Seno de θ em valor absoluto. Reescrevendo de forma simplificada, estamos falando do módulo sen θ sobre 2. Vamos, agora, pensar na área deste setor circular. Que fração do círculo todo essa área representa? Se a volta inteira tem 2π, então a fração representada pelo ângulo que determina o setor circular é θ sobre 2π. Essa é a fração do círculo correspondente ao setor circular. Então a área do setor circular é θ sobre 2π vezes π vezes raio ao quadrado, que nesse caso é π vezes 1², ou simplesmente π. Simplificando, a área deste setor circular é θ sobre 2 e como estamos tratando com a possibilidade de θ estar também no quarto quadrante, então vamos tratá-lo em valor absoluto. Vamos agora pensar sobre este triângulo maior que eu vou destacar em azul. De novo, a área aqui é ½ vezes base vezes altura. Estamos falando dessa área inteira. Vai ser ½ vezes a base, que é o raio do círculo unitário, portanto 1, vezes o tamanho desse segmento azul, que é o módulo da tangente do ângulo θ, ou simplesmente, simplificando, ½ vezes 1 vezes tg θ temos simplesmente tg θ sobre 2, módulo da tg θ sobre 2. Agora vamos comparar as áreas destas três figuras. O triângulo menor destacado em cor-de-rosa, o setor circular destacado em laranja e o triângulo maior azul. Evidentemente a área do triângulo cor-de-rosa vai ser menor ou igual à área do setor circular que vai ser menor ou igual à área do triângulo azul. Observe que o setor circular tem a área do triângulo cor-de-rosa mais esta cunha aqui e o triângulo azul inclui a área do setor circular mais esta outra área externa. Dessa forma podemos visualmente identificar que esta afirmação, estas desigualdades, são verdadeiras. Agora eu vou fazer um pouco de manipulação algébrica. Vou multiplicar tudo por dois para, evidentemente, simplificar aqui de maneira que ao reescrever vamos ter o módulo do sen θ menor ou igual ao módulo de θ menor ou igual ao módulo da tg θ e aqui na tg θ, que é sen θ sobre cos θ, podemos escrever módulo do sen θ sobre módulo do cos θ. Esta fração substitui o módulo da tg θ. Agora eu posso dividir toda esta desigualdade pelo valor absoluto de sen θ. Observe que estou dividindo por um valor positivo, então não vai modificar o sentido das desigualdades. Escrevendo, então, (módulo sen θ) sobre (módulo sen θ), módulo θ sobre módulo sen θ e essa fração final multiplicamos por (1 sobre módulo sen θ), que é mesma coisa que dividir pelo módulo sen θ. O que vamos conseguir com isso? Aqui nós temos 1. Aqui no final, cancelando sen θ com sen θ temos 1 sobre cos θ. Meu próximo passo é tomar o inverso de cada membro das desigualdades, mas eu preciso me lembrar de que quando eu inverto os membros das desigualdades o sentido delas tem que ser trocado também. Começando por aqui, o inverso de um é simplesmente 1. Agora o sinal, que era menor ou igual, passa a ser maior ou igual. O (módulo de θ) sobre (módulo sen θ) passa a ser (módulo sen θ) sobre (módulo de θ) e isso vai ser maior ou igual ao inverso de (1 sobre cos θ), ou seja, cos θ. Retomando, nós estamos falando do θ aproximando-se de zero pelo primeiro ou pelo quarto quadrante. Se estivéssemos no primeiro quadrante, então θ é positivo e sen θ também é positivo. Por outro lado, no quarto quadrante, θ é negativo e sen θ também é negativo, de forma que escrever essa expressão com os valores absolutos é desnecessário porque se eles têm sempre o mesmo sinal, ao dividir, isso vai dar um resultado positivo. Olhando para o cosseno também podemos tirar as barrinhas do módulo porque, já que o cosseno é a abcissa do ponto de intersecção do círculo do raio e do segmento alaranjado, então ele sempre é positivo. No primeiro ou no quarto quadrantes o cosseno é positivo. Aqui vamos dar uma olhada e imagine que estamos falando de três funções: a primeira a função f(x), que é 1, a segunda função g(x) e a terceira, h(x), e no intervalo que estamos considerando, ou seja, para θ entre (-π sobre 2) e (π sobre 2) essas desigualdades são verdadeiras para qualquer valor de θ. Observe que (sen θ) sobre θ é definido nesse intervalo exceto quando θ é igual a zero. Agora já estamos muito próximos de conseguir obter limite. Pelo Teorema do Sanduíche, se isso é verdade no intervalo considerado, sabemos também que a seguinte afirmação é verdadeira: o limite com θ se aproximando a zero desta primeira função, que é 1, é maior ou igual ao limite com θ tendendo a zero de (sen θ) sobre θ (e é justamente nesse limite que estamos de olho) e ele é maior que ou igual ao limite com θ tendendo a zero de cos θ. Este primeiro limite aqui é claramente igual a 1, o segundo limite é justamente o que estamos estudando e este terceiro limite, limite de cos θ quando θ a tende a zero, já que o cos θ é uma função continua, então o cosseno zero sendo 1, este limite vale 1. Assim o limite que estamos estudando vai ser menor ou igual a 1 e maior ou igual a 1. A conclusão a que chegamos é que esse limite tem que ser exatamente igual a 1. Pronto. Até o próximo vídeo!