Introdução ao teorema do confronto

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos estudar um dos meus teoremas favoritos na matemática que é o teorema do confronto. E a razão para isso é porque tem a palavra confronto, algo que não costuma aparecer muito na matemática, não é? E este nome é bastante apropriado. Outro nome que damos para este teorema é o teorema do sanduíche. E eu já vou explicar o porquê deste nome ser muito legal. Mas, antes disso, eu vou fazer uma analogia. Digamos que existem 3 pessoas: a Larissa, o Pedro e a Sabrina. E, em qualquer dia, a Larissa sempre consome a menor quantidade de calorias. E, em qualquer dia, a Sabrina sempre consome o maior número de calorias. Então, em um dado dia, sempre podemos afirmar que a Sabrina come pelo menos o quanto do Pedro, e que o Pedro come pelo menos a mesma quantidade que a Larissa. Então, em qualquer dia, nós podemos afirmar que Pedro come pelo menos a quantidade da Larissa, enquanto a Sabrina come pelo menos a quantidade de Pedro. E para entender isso melhor, nós podemos construir uma inequação. Nós podemos colocar que as calorias da Larissa vão ser menores ou iguais às calorias do Pedro em um determinado dia, que vão ser menores ou iguais às calorias da Sabrina neste mesmo dia. Por exemplo, vamos dizer que seja terça-feira e você descobre que a Larissa consumiu 1.500 calorias, e a Sabrina consumiu 1.500 calorias na terça-feira também. A minha pergunta é, quantas calorias o Pedro consumiu neste dia? Note que ele come pelo menos a mesma quantidade da Larissa. Isso significa que ele comeu 1.500 calorias ou mais. Ele sempre come menos quantidade do que a Sabrina, então, deve ser algo menor do que 1.500 calorias. E só existe um número que está dentro deste intervalo, que é o próprio 1.500. Então, o Pedro consumiu 1.500 calorias. Este é o teorema do confronto. Ou seja, você pode ver as calorias da Larissa como uma função do dia, e as calorias da Sabrina como uma função do dia. E essa função do meio sempre vai estar entre essas duas. Agora, vamos a entender isso com um pouco mais de matemática, não é? Vamos ver com um pouco mais de rigor matemático. Então, deixe-me apagar isso aqui. Então, você tem uma função f(x) em um intervalo, que é menor ou igual a uma função g(x) neste mesmo intervalo, que é menor ou igual a uma função h(x) neste mesmo intervalo. E para entender isso, eu posso representar graficamente. Então, deixe-me colocar aqui um plano cartesiano com o meu eixo "x" e o meu eixo "y". E vamos dizer que a função h(x) esteja, mais ou menos, aqui. Esta é h(x). E a função f(x) é algo, mais ou menos, assim. Vai subindo, quase toca em h(x) e, depois, desce. Aqui a função f(x). E para qualquer valor de "x", a função g(x) sempre vai estar entre h(x) e f(x). Algo, mais ou menos, assim. Ou seja, vai ter um confronto. E uma outra analogia para você entender isso é como se f(x) e h(x) fossem dois pães, e g(x) fosse a carne do hambúrguer. E, de novo, pensando nas pessoas do exemplo anterior, vamos dizer que, em um determinado dia, a Larissa e a Sabrina comam a mesma quantidade. Vamos dizer que seja para um valor particular aqui de "x", o limite de f(x) e de h(x) quando se aproxima deste valor, vai ser o mesmo. Ou seja, vamos dizer que aqui nós temos o valor de "x = c". E digamos que o limite de f(x), quando "x" tende a "c" é igual a "L". Então, é igual a "L". E que o limite de h(x) quando "x" se aproxima de "c", também é igual a "L". Ou seja, se isso tudo aqui é verdadeiro, se "x" está de fato definido em "c", se estes limites realmente existem, então, nós podemos dizer que o limite de g(x) quando "x" tende a "c" também é igual a "L". Você pode observar isso graficamente. À medida que você está se aproximando de "c", a função f(x) vai se aproximando de "L". E o mesmo acontece com h(x), e g(x) está dentro no sanduíche, está dentro das duas funções. Por isso, ela também vai se aproximar de "L". E essa é aquela hora que você deve estar se perguntando, em que isso vai ser útil? Simples, isso vai te ajudar a encontrar limites de funções mais complexas. Se você encontrar o limite de uma função que é sempre maior que ela, e uma função menor do que ela, você vai conseguir encontrar o limite daquela função sem necessariamente utilizá-la. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!