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Agora vamos pensar em um dos meus teoremas preferidos na Matemática, que é o Teorema do Confronto. E uma das razões pelas quais ele é um dos meus teoremas preferidos na Matemática é que ele contém a palavra "confronto", uma palavra que não costuma aparecer em muitos lugares na Matemática. Mas o nome é apropriado! Ele também é frequentemente chamado de Teorema do Sanduíche, que também é um nome apropriado, conforme veremos em um segundo. E como ele pode ser chamado de Teorema do Sanduíche, vamos primeiro pensar em uma analogia para pegarmos a intuição por trás do teorema do Confronto, ou do Sanduíche. Digamos que existem três pessoas, Imran, Diya e Sal. E digamos que Imran, em qualquer dia, sempre consome a menor quantidade de calorias, e Sal, em qualquer dia, sempre consome o maior número de calorias. Então em um dado dia, sempre podemos afirmar que Diya come ao menos tanto quanto Imran, e também podemos dizer que Sal come ao menos tanto quanto Diya. Então podemos construir uma pequena inequalidade: em um dado dia, podemos dizer que as calorias de Imran, em um determinado dia, serão menores ou iguais às calorias de Diya, naquele mesmo dia, que serão menores ou iguais às calorias de Sal, naquele mesmo dia. Agora digamos que é terça feira. Você descobre que Imran comeu 1500 calorias e, naquele mesmo dia, Sal também comeu 1500 calorias. Então baseado nisso, quantas calorias a Diya deve ter ingerido naquele dia? Bem, ela sempre come ao menos tanto quanto Imran, então ela comeu 1500 calorias ou mais, mas ela sempre come uma quantidade menor ou igual à que Sal come, então deve ser menor ou igual a 1500. Bem, só existe um número que é maior ou igual a 1500 e menor ou igual a 1500, e esse número é 1500 calorias, então Diya deve ter ingerido 1500 calorias -- é apenas senso comum! Diya deve ter ingerido 1500 calorias. E o Teorema do Confronto é essencialmente a versão matemática disso, para funções. Você pode mesmo ver as calorias de Imran como uma função do dia, as calorias de Sal como uma função do dia, e as calorias de Diya, como uma função do dia, sempre estará entre as outras. Então agora vamos tornar isto um pouquinho mais matemático. Então deixe-me limpar isso, para que tenhamos um pouco de espaço para matemática. Então digamos que temos essa mesma analogia. Digamos que temos três funções. Digamos que f(x), em algum intervalo, é sempre menor ou igual a g(x), naquele mesmo intervalo, que também é sempre menor ou igual a h(x), naquele mesmo intervalo. Então permita-me mostrar isso graficamente. Vamos mostrar isso graficamente, com um gráfico bem aqui. Então este é o meu eixo y, este é o meu eixo x, e eu vou apenas demarcar algum intervalo no eixo x, bem aqui, então digamos que h(x) é mais ou menos assim... Vamos tornar isso mais interessante, este é o eixo x, então vamos dizer que h(x) é mais ou menos assim, então esta é h(x), e digamos que f(x) é mais ou menos assim -- talvez ela faça algumas coisas interessantes: ela entra, depois sobe assim, então f(x) é mais ou menos assim. E então g(x), para qualquer valor de x, g(x) está sempre entre essas duas. E acho que você consegue ver onde o "confronto" acontece, ou onde o "sanduíche" acontece. Então se h(x) e f(x) fossem pedaços maleáveis de pão, g(x) seria a carne no meio do pão. E seria mais ou menos assim. Agora digamos que sabemos (isso é análogo a dizer que em um determinado dia Sal e Imran comeram a mesma quantidade), digamos que para um valor em particular de x, o limite de f(x) e h(x) quando se aproximam daquele valor, é o mesmo. Então tomemos este valor de x aqui. Digamos que o valor de x é C, bem aqui. E digamos que o limite de f(x) quando x tende a C é igual a L, e digamos que o limite quando x tende a C de h(x) também é igual a L. Então quando x se aproxima de C, h(x) se aproxima de L, e quando x se aproxima de C de qualquer lado, f(x) se aproxima de L, então esses limites devem ser definidos. Na verdade as funções não precisam ser definidas em x = C, apenas neste intervalo, elas devem estar definidos conforme nos aproximamos de C, mas neste intervalo a inequalidade deve ser verdadeira, e se limites bem aqui são definidos, como sabemos que g(x) está sempre no meio de um sanduíche com f(x) e h(x), então naquele dia, ou naquele valor de x (eu deveria sair da analogia com comida), isto nos diz que, se tudo isso for verdade, neste intervalo, o limite quando x tende a C de g(x) deve também ser igual a L. E novamente, isto é senso comum! f(x) está se aproximando de L, h(x) está se aproximando de L, g(x) está em um sanduíche no meio delas, então ela também deve estar se aproximando de L. E você pode dizer "Isso é senso comum! Por que isso é útil?" Bem, como veremos, isso é útil para encontrar limites de funções esquisitas: se você conseguir encontrar uma função que é sempre maior que ela, e uma função que é menor que ela, e você puder dizer que o limite quando elas se aproximam de um C é o mesmo, então você sabe que aquela função esquisita no meio irá se aproximar daquele mesmo limite.
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