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Definição formal de limites (parte 4): uso da definição

Transcrição de vídeo

nós vimos em vídeos anteriores o limite de uma função nesse vídeo vamos ver o limite de uma função dado por grandezas enfrentasse mais delta e apps temos um limite de fdx é igual a ele quando x tende a ser se somente se dado um eps o mal do que zero pode se afirmar que existe um delta modo que zero tal que se o modo de x - se for menor do que delta implica que o módulo de fdx - ele é menor do que apps bem vamos verificar o que significa isso nós temos uma função aqui qualquer y fdx que é igual a 2 xx foi diferente de 5 e xx for igual a 5 quero saber o limite de fdx quando se estende a 5 se ele é igual a 10 então nós temos um x - e cecília 5 portanto nós temos aqui nosso 5 - o delta e aqui nós temos o nosso 5 mais o delta o que nós queremos mostrar que esse implica no módulo de fdx - ele ser menor do que o épsilon é que esse valor aqui vai levar a um 10 -1 épsilon esse valor aqui vai levar a um 10 mais um valor é psoe tese mal que nós podemos tornar tão pequeno quanto quisermos até que ele chegue no limite onde x tende a 5 + x não é igual a 5 ele pode até não ser definido em x igual a 5 então o que nós queremos é que o módulo de x menos cinco seja menor do que delta e obviamente maior do que zero e isso implique em dizer que existe um modo de fdx menos 10 que seja menor do que é psoe e obviamente maior do que zero nunca igual ou seja nunca vai ser igual nesse ponto é o limite a tendência então um procedimento que podemos fazer é colocar delta em função de epsom você tem x menos 5 tem que ser menor do que um determinado valor delta isso aqui não parece que nossa função mas podemos multiplicar por dois de ambos os lados então fica 2 vezes módulo de x menos 5 é menor do que dois meses o módulo de delta ora sabemos que 2 vezes o módulo de alguma coisa 2 vezes o modo o diário é igual a o módulo de 2 a 1 portanto aqui ficamos com o módulo de 2 x - 3 é menor do que 2 delta agora já temos uma expressão parecida com que queremos nós temos aqui nosso fdx nós temos aqui nosso limite l e podemos fazer para x diferente de 5 podemos fazer dois delta igual a épsilon então nós podemos dizer que isso daqui epson então ficamos com o módulo de fdx - ele é menor do que em long island onde queremos chegar então essa sequência nós podemos sempre tomar então podemos partir de 15 mais ou menos delta a 1 fdx mais ou menos épsilon vamos fazer uma pequena tabela para delta ii para épsilon quando delta foi 0,25 o nosso apps vai ser duas vezes ou seja 0,5 para delta igual a 0,05 o nosso apps vai ser 0,1 ou seja nós vamos ter para delta igual a 4,75 vai levar nossa função a 9,5 e para o shea igual a 5,25 vai levar a 10,5 lembrando que nós podemos diminuir nosso épsilon tanto quanto quisermos e nos aproximarmos do limite e obviamente como nós temos que o delta está em função de epsom ao diminuirmos o y estamos diminuindo o delta também portanto genericamente podemos escrever que se nós temos uma função e y em função de x nós temos xis aqui nós temos y e temos uma função aqui qualquer que não precisa ser definida no ponto onde ela vai ter o limite ela pode ter uma definição num ponto qualquer como foi definido na função anterior aqui nós temos nosso pontos e e aqui nós vamos ter nosso limite l o que nós estamos querendo dizer é que antes de ser nós temos ser menos delta depois de ser nós temos nosso ser mais delta isso vai implicar a um l - épsilon e aqui vai implicar num l mais y só que esse épsilon nós podemos diminuir tanto quanto quisermos até se aproximar de l mas nunca x pode ser igual a seus ou seja nós nunca chegamos nesse ponto então genericamente podemos dizer que o limite de fdx quando x tende a ser igual a ele se somente se vamos escrever agora matematicamente para todo épsilon maior do que zero existe um delta maior do que zero tal que o módulo de x - e está entre zero e delta e isso implica que existe um fdx - éle que seja menor do que é preciso portanto nós diminuímos de um lado o nosso épsilon tanto quanto quisermos e com isso como nós deixamos o delta em função de épsilon nós vamos diminuir o delta tanto quanto quisermos mas nunca o delta vai ser igual a zero embora ele seja infinitesimal e assim nós definimos nosso limite através da diferença de duas grandezas enfrentasse mais épsilon e delta
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