Resposta grátis número 1 para a prova de cálculo AB de 2011 partes b c d

RKA10MP – Para o intervalo de tempo indo de zero até 6, a partícula está se movendo ao longo do eixo “x”. A posição da partícula x(t) não é dada explicitamente. A velocidade da partícula é dada por v(t) igual a 2 vezes o seno de “e” elevado a “t” sobre 4, mais 1. E a aceleração da partícula é dada por a(t) igual a ½ vezes “e” elevado a “t” sobre 4, vezes o cosseno de “e” elevado a “t” sobre 4, e x(0) é igual a 2. Letra B. Encontre a velocidade média da partícula para o intervalo de tempo indo de zero a 6. O que temos que fazer agora é encontrar a velocidade média desta partícula neste intervalo de tempo, que vai de “t” igual a zero até “t” igual a 6. Algo interessante é que a gente sabe que a distância que uma partícula percorre ao longo do tempo vai ser igual à velocidade média desta partícula vezes um certo tempo. Dessa forma, chegamos à conclusão que a velocidade média desta partícula vai ser igual à distância percorrida por ela em um certo tempo. Então, para a gente começar a discutir essas ideias da velocidade média ser igual à distância sobre o tempo, vamos traçar um pequeno gráfico da velocidade em relação ao tempo. Então, a gente tem no eixo “y” a velocidade e no eixo “x” vamos ter o tempo em que a gente vai considerar um intervalo de tempo indo de “t” igual a zero até um certo tempo “t” igual a “t”. E vamos supor que, ao longo deste tempo, a velocidade sofra uma certa variação, desse jeito mais ou menos. Ou seja, a velocidade está se alterando em função do tempo. Se a gente quiser saber a distância que esta partícula percorre em um certo tempo, a gente pode vir e calcular a área neste pequeno intervalo de tempo Δt. Então, se a gente tem um pequeno Δt e o multiplicarmos por esta velocidade neste pequeno intervalo de tempo, a gente consegue encontrar a distância, pelo menos uma aproximação da distância percorrida por esta partícula neste pequeno intervalo de tempo. Agora, se a gente quiser saber toda a distância percorrida por esta partícula ao longo de todo este intervalo de tempo, indo de “t” igual a zero até este tempo “t”, a gente vai precisar calcular a integral definida da velocidade indo de zero até “t”. E é isso que a gente vai fazer, vamos lá. Esta distância vai ser igual à integral indo de zero até “t”, lembrando que de acordo com o problema, o nosso tempo “t” vai ser 6, já que o nosso intervalo é de zero a 6, então a gente pode colocar indo até 6. E aí a gente vai integrar a função velocidade indo de zero a 6, esses são os nossos limites de integração. Então, a gente vai ter esta integral definida indo de zero a 6 de v(t) vezes dt. Não esquecendo também que a nossa distância é a velocidade média vezes o tempo que, neste caso, vai ser a variação do tempo indo de zero até 6. Então a gente vai colocar aqui um Δt e aqui também um Δt, e o nosso Δt vai ser o próprio 6, já que 6 menos zero é igual a 6. Sabendo disso, para a gente calcular a velocidade média, que é o que o problema está pedindo, basta simplesmente dividir a distância, que a gente vai calcular com esta integral, pelo nosso intervalo de tempo, que é este 6. Vamos lá, vamos calcular esta integral, a integral definida de v(t)dt. A gente sabe que a função velocidade é 2 vezes o seno de “e” elevado a “t” sobre 4, mais 1. E uma coisa interessante é que nesta parte da prova a gente pode usar a calculadora, então vamos usá-la para fazer este cálculo. Vamos escolher a função integral definida e vamos integrar esta função da velocidade. 2 vezes o seno de “e” elevado a “x”, porque a calculadora não vai interpretar a nossa variável “t”, então a gente precisa colocar a variável “x”, sobre 4, fecha parênteses, mais 1. Vamos escolher a nossa variável, que é “x”, e o nosso intervalo de integração, que vai de zero a 6. Vamos esperar calcular. Isso é igual a 11,696. O resultado da integral, que é a nossa distância, vai ser igual a 11,696. Calculamos a nossa distância, mas a gente quer a velocidade média. A velocidade média é igual à distância dividida pelo tempo, que é igual a 6, conforme já falei. Então 11,696 dividido por 6 é igual a 1,949. Então a velocidade média desta partícula neste intervalo de tempo indo de zero a 6 vai ser igual a 1,949. Letra C. Encontre a distância total percorrida pela partícula entre “t” igual a zero 8 e “t” igual a 6. A gente já fez isso anteriormente, esta distância total é este 11,696, então podemos logo responder esta questão. A distância total vai ser igual a 11,696. Letra D. Para “t” entre zero e 6, a partícula muda sua direção exatamente uma vez. Encontre a posição da partícula neste momento. A gente quer saber exatamente a posição em que a partícula muda de direção. A gente sabe que quando a partícula muda de direção, isso significa que a velocidade está mudando de positivo para negativo ou de negativo para positivo. Então, temos uma situação em que a gente tem um gráfico, por exemplo, da velocidade em relação ao tempo, em que a gente pode ter uma situação em que a velocidade está se alterando do positivo para o negativo, ou uma outra situação em que a velocidade está se alterando do negativo para o positivo. De qualquer forma, esta mudança ocorre quando a velocidade é igual a zero. E um detalhe, aqui a gente poderia ter uma outra situação em que a velocidade é igual a zero, mas que o corpo não está alterando a sua direção neste momento, por exemplo, se a gente tivesse uma parábola desta forma. Neste ponto, a velocidade seria igual a zero, mas a direção de movimento da partícula não se alterou, então estamos interessados apenas em um desses dois casos. Vamos buscar estes pontos em que a velocidade é igual a zero. Para fazer isso, basta a gente pegar a função velocidade, que é esta aqui em cima, 2 vezes o seno de “e” elevado a “t” sobre 4, mais 1 e igualar isso a zero. Então, a gente quer o ponto em que 2 vezes o seno de “e” elevado a “t” sobre 4, mais 1, seja igual a zero, então a gente quer todos os pontos “t” em que esta função seja igual a zero. Então, vamos resolver esta função para este “t”. A gente pode subtrair por um dos dois lados da equação, e vamos ter 2 vezes o seno de “e” elevado a “t” sobre 4, isso sendo igual a -1, e dividindo por 2 dos dois lados, a gente tem seno de “e” elevado a “t” sobre 4 sendo igual a -1 sobre 2. E o que a gente precisa fazer agora? A gente sabe que seno de “e” elevado a “t” sobre 4 é igual a -1 sobre 2. Então, precisamos encontrar um ângulo que tenha este seno sendo igual a -1 sobre 2. E uma forma de fazer isso seria observando o círculo trigonométrico. Se a gente observar o círculo trigonométrico, vamos traçar uma circunferência… Quais são os ângulos em que a gente vai ter seno igual a -1 sobre 2? Na verdade, existem vários. Vamos observar um destes. A gente teria seno sendo igual a -1 sobre 2 exatamente neste ponto. Neste ângulo igual a -π sobre 6, a gente encontra seno sendo igual a -1 sobre 2 -½, então a gente tem seno sendo igual a -1 sobre 2. Porém se a gente observar também deste outro lado, neste outro quadrante, a gente percebe que também vamos ter seno igual a -1 sobre 2. E que ângulo seria este? Seria este outro com esta angulação. Este ângulo, se a gente observar o círculo trigonométrico, sabemos que daqui até aqui temos π. E daqui até aqui, a gente vai ter π sobre 6. Então o ângulo total vindo daqui até aqui vai ser igual a π mais π sobre 6, que é igual a 6π mais π sobre 6, que é igual a 7π sobre 6, então este outro ângulo também tem seno igual a -1 sobre 2. Então, a gente tem este ângulo 7π sobre 6, e temos este outro, que vai ser igual a 2π menos π sobre 6. Se a gente calcular este 2π menos π/6, vamos ter algo igual a 11π sobre 6, então temos esses dois ângulos, este 7π/6 e este seno igual a 11π/6. É claro que a gente pode encontrar diversos ângulos aqui, mas vamos ficar com o primeiro que a gente encontra, 7π sobre 6? Principalmente porque o problema diz o seguinte: para “t” entre zero e 6, a partícula muda sua direção exatamente uma vez. Então se é exatamente uma vez, vamos ficar apenas com este primeiro ângulo 7π/6. E o que a gente tem aqui? A gente sabe que seno de 7π/6 é igual a -1/2. Então, este “e” elevado a “t” sobre 4 é igual a 7π sobre 6. A gente coloca aqui “e” elevado a “t” sobre 4 tem que ser igual a 7π sobre 6. Isso principalmente porque o nosso objetivo é encontrar este tempo “t”, por isso que a gente está colocando dessa forma para encontrar este tempo. E agora que a gente já fez isso, para encontrar este “t” sobre 4, a gente vai aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação. O logaritmo natural de “e” é o próprio expoente, então a gente vai ter “t” sobre 4 sendo igual ao logaritmo natural de 7π sobre 6. Então o tempo “t” vai ser igual a 4 vezes o logaritmo natural de 7π sobre 6. Fazendo isso na calculadora, vamos fazer 4 vezes o logaritmo natural de 7π sobre 6 é igual a 5,196. Então este é o nosso tempo: 5,196. Então, 5,196 é o momento em que a partícula muda a direção de movimento, mas não foi isso que o problema pediu. Ele pediu a posição da partícula neste momento. E para a gente encontrar posição da partícula neste momento, precisamos da função x(t), só que a gente não tem esta função x(t), então precisamos encontrá-la. E como a gente vai encontrar esta função x(t)? É simples, a função x(t) é igual à integral indo de zero a “t” da função v(t)dt, mais uma constante. A gente consegue encontrar esta constante tendo algumas condições iniciais, e a gente tem essas condições iniciais aqui. O problema falou… O problema falou que “x” no tempo igual a zero é igual a 2. Então a gente sabe que “x” no tempo igual a zero é igual a 2. Vamos resolver isso, “x” para “t” igual a zero é igual à integral indo de zero a zero de v(t)dt mais “C”, e isso sendo igual a 2. A integral de um ponto até o próprio ponto é igual a zero, então a gente sabe que esta parte vale zero. Logo, a nossa constante “C” é igual a 2. A gente sabe agora que a nossa função x(t) vai ser igual à integral indo de zero a “t” de v(t)dt, mais a nossa constante, que é igual a 2. Agora vamos integrar isso em relação ao tempo que encontramos aqui. Então a gente sabe que x(t), em que o tempo é igual a 5,196, a gente coloca aqui 5,196, vai ser igual à integral indo de zero até 5,196 de v(t)dt, mais 2. Vamos pegar a calculadora para fazer este cálculo. A gente vai pegar a função integral definida da função velocidade, que é 2 vezes o seno de “e” elevado a “x” sobre 4… Novamente, porque a calculadora não aceita “t”, vai aceitar “x”, mais 1, em que “x” é a nossa variável de integração, como se trata de uma integral definida indo de zero até 5,196, mas, para deixar mais preciso, como a gente já calculou isso antes, vou botar indo de zero até a nossa resposta anterior, mais 2. Isso vai ser igual a 14,134. Então, isso é igual a 14,134. Esta é a posição em que a partícula muda a direção de movimento.