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2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 3 (c)

Método do disco para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma função. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - "Seja "R" uma região no primeiro quadrante definida pelos gráficos de f(x) = 8x³ e g(x) = sen(πx), como mostra esta figura que ao lado. Bem, a parte "c" da questão pede isso aqui. Escreva, mas não resolva, a expressão para a integral do volume do sólido gerado devido à rotação de "R" em relação à reta horizontal "y = 1''. Eu tenho "y =1" aqui, beleza? Então "y" igual, uma reta "y = 1" está neste ponto. Então "y = 1" está aqui. Uma forma que eu gosto de começar a pensar a respeito disso é considerar apenas a curva aqui de baixo, ou seja, a função aqui de baixo. Esta função aqui de baixo seria f(x), e eu vou considerar apenas ela realizando uma rotação em torno da reta "y = 1". Então, eu vou considerar a rotação dela vindo aqui em torno de "y = 1." E aí, qual seria o volume do sólido gerado devido a esta rotação? Depois que fizer isso, eu posso fazer o mesmo com esta outra função aqui de cima, a função g(x), determinar o volume dessa função g(x) e subtrair da função f(x). Assim, eu ia conseguir determinar o volume gerado por essa região "R" devido à rotação em torno desta reta "y = 1". Então, primeiro vamos observar aqui a rotação desta função em torno dessa reta "y = 1". Ah, diga-se de passagem, isso daqui é o método do disco, que, inclusive, eu já falei a respeito em um outro vídeo aqui do curso de cálculo. O método do disco consiste em pegar uma pequena barra aqui nesta função, um pequeno segmento, um pequeno elemento desta barra, em que esta barra tem um certo comprimento e depois rotacionar essa barra em torno do nosso eixo de rotação, que é a reta "y = 1". Então, vamos fazer isso. Vamos rotacionar isso aqui em torno desse "y", certo, a gente tem tudo isso aqui. Não podemos esquecer que este disco tem uma profundidade, certo? Então, deixe-me desenhar essa profundidade aqui. Agora, a minha pergunta é: qual seria o tamanho dessa profundidade? Bem, o tamanho dessa profundidade, ou essa espessura, seria "dx". Então, a gente teria uma espessura "dx." Então, "dx" seria a profundidade deste disco. No entanto, este disco também tem uma área, esta área que eu estou pintando de azul, certo? E como podemos determinar a área deste disco? A área desta moeda? Para determinar a área desta moeda, basta multiplicar π vezes o raio elevado ao quadrado. Mas qual seria um raio deste disco? Bem, o raio deste disco seria este comprimento aqui, saindo desse eixo de rotação e vindo até a extremidade deste disco, e esta distância aqui corresponde a 1 - f(x). Então o raio "r" seria igual a 1 - f(x). Então para determinar a área deste disco, como eu falei antes, basta simplesmente, deixe-me colocar aqui, então, a área o disco vai ser igual πr². Mas o que seria o raio? O raio é igual a 1 menos a função de "x", certo? f(x). Então, a área daquele disco é igual a π vezes (1 - f(x))². Bem, agora se a gente quiser calcular todo o volume gerado pelo sólido, a gente precisa calcular a área de todos os pequenos discos aqui e somar a área de todos esses pequenos discos. Então supondo que aqui eu tenho um disco, aqui eu tenho um outro de disco formado, aqui eu tenho um outro disco também formado, certo? Então, a gente vai ter diversos discos formados aqui por cada um desse elementozinho "dx", certo? E aí, para determinar todo o volume do sólido gerado devido à rotação dessa função f(x) em torno dessa reta "y = 1", basta somar todas as áreas desses infinitos discos pequenos indo de zero até "x = 1/2", e aí com isso a gente vai conseguir determinar o volume desse sólido gerado. Então, para determinar esse volume, o volume do sólido, basta somar a área de todos os discos. E para fazer isso, a gente vai utilizar a integral. Nós vamos integrar indo do "x = 0" até o "x = 1/2". Então, a gente vai ter o 1/2, de quê? Da área de todos os discos. Então, a gente vai ter π vezes (1 - f(x))² dx, já que se trata desse pequeno elemento da profundidade desses discos. Ah, claro, aqui eu tenho que colocar um "dx" e um "dx" aqui também, já que se trata deste pequeno elemento de área. E aí com isso, a gente somando todos esses pequenos elementos de área, a gente consegue determinar o volume gerado devido à rotação dessa função f(x) em torno desta reta "y = 1". Utilizando a mesma lógica agora, a gente pode determinar o volume gerado devido à rotação da função g(x). Então, a gente poderia também pegar aqui um pequeno disco, a gente poderia pegar aqui uma pequena barra e também rotacionar isso em torno desse "y = 1", certo? Fazendo isso, a gente iria gerar um disco novamente, e fazendo isso para cada elementozinho, a gente iria gerar diversos discos. Para determinar o volume, então, dessa função "g", bastaria usar a mesma ideia, calcular a integral, indo de zero a 1/2 de π vezes 1 - g(x)dx. Ah claro, não posso deixar de colocar o quadrado aqui, tudo bem? Afinal de contas é πr². Agora, para determinar o que o problema está pedindo, que é o volume do sólido gerado devido à rotação desta área "R", basta a gente observar que se a gente tem esses dois volumes e a gente quer um volume entre essas duas funções, basta calcular a diferença entre os dois volumes. Assim, o volume desse sólido gerado devido à rotação da área "R", vai ser igual ao volume da função "f" menos o volume da função "g". Então, nós vamos ter a integral indo de zero a 1/2 de π vezes (1 - f(x))²dx menos a integral indo de zero a 1/2 de π vezes (1 - g(x))²dx. Como nós temos uma integral com os mesmos limites de integração, basta a gente colocar tudo o que está aqui dentro. Basta a gente colocar tudo dentro de uma mesma integral. E como nós temos π também nos dois termos, a gente pode colocar o π em evidência e jogar para fora da integral. Então, a gente vai ter aqui algo igual a π vezes a integral indo de zero a 1/2 de (1 - f(x))² menos (1 - g(x))²dx. Claro que isso aqui já é uma resposta válida, mas como você vai fazer a avaliação, é interessante substituir esse f(x) e o g(x) pelos valores que nós já temos aqui em cima, tudo bem? Então, a gente vai ter um volume sendo igual a π vezes a integral indo de zero a 1/2 de (1 - f(x))², só que f(x) é 8x³, então, vamos ter -8x³, isso elevado ao quadrado, menos 1 - g(x), e g(x) é sen(πx), então, a gente vai ter -sen(πx)², tudo isso, claro, "dx". Bem, o problema não pede para resolver, ele pede para não resolver, só pede para escrever a expressão para a integral do volume. Então, com essa expressão aqui, a gente consegue determinar a integral e assim obter o volume do sólido gerado devido à rotação dessa área "R" em torno dessa reta "y = 1".