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Transcrição de vídeo

seja r uma região no primeiro quadrante definida pelos gráficos de fdx igual a 8 x ao cubo e gtx igual a sendo de pyxis como mostra esta figura que ao lado em apartes e da questão pede isso aqui e escreva mas não resolva a expressão para integral do volume do sólido gerado devido à rotação de r em relação à reta horizontal y igual a 1 eu tenho y igual a 1 aqui beleza então y igual a uma reta y igual a 1 nesse pontos então y igual a um tac uma forma que eu gosto de começar a pensar a respeito disso é considerar apenas a curva aqui de baixo seja a função aqui de baixo essa função aqui de baixo seria f the xx e eu vou considerar apenas ela realizando uma rotação em torno da reta y igual a 1 então vou considerar a votação dela vendo aqui em torno de y igual a um e aí qual seria o volume do sólido gerado devido a essa rotação e aí depois que fizer isso eu posso fazer o mesmo com essa outra função aqui de cima função gtx determinar o volume dessa função gtx e subtrair da função fdx assim eu ia conseguir determinar o volume gerado por essa região r devido à rotação em torno dessa reta y igual ao então primeiro vamos observar que a rotação dessa função em torno dessa reta y igual a 1 a dica se de passagem isso daqui é o método do disco que inclusive já falei a respeito em um outro vídeo aqui do curso de cálculo o método do disco consiste em pegar uma pequena barra que nessa função um pequenos segmentos em uma pequeno elemento dessa barra em que essa barra tem um certo comprimento e depois rotacionar essa barra em torno do nosso eixo de rotação que a reta y igual a 1 então vamos fazer isso vamos rotacionar isso aqui em torno desse y certo a gente tem tudo isso aqui não podemos esquecer que esse discutem uma profundidade certo então deixou desenhar essa profundidade aqui agora minha pergunta é qual seria o tamanho dessa profundidade bem o tamanho dessa profundidade ou essa espessura seria de x então a gente teria que uma espessura de x então deixe seria a profundidade desse disco no entanto esse disco também tem uma área essa área que eu estou pintando de azul certo e como podemos determinar a área desse disco a área dessa moeda para determinar dessa moeda basta multiplicar ap vezes o raio e levado ao quadrado mas qual seria um raio desse disco bem ohio desse disco seria esse comprimento aqui saindo aqui desse eixo de rotação em vindo até a extremidade desse disco e essa distância que corresponde a 1 - fdx então ohio ohio r seria igual a 1 - fdx então para determinar a área desse disco como falei antes basta simplesmente deixa eu colocar aqui então a área o disco vai ser igual ap vezes o raio elevada ao quadrado mas o que seria um raio ohio é igual a 1 - a função de che certo fdx então a área daquele disco é igual ap visys 11 - fdx elevada ao quadrado bem agora se a gente quiser calcular todo o volume gerado pelo sólido a gente precisa calcular a área de todos os pequenos discos aqui e só uma área de todos esses pequenos riscos então supondo que aqui eu tenho um disco aqui eu tenho um outro de risco formado aqui eu tenho um outro disco que também formado certo então a gente vai ter diversos discos formados aqui por cada um desses elementos zinho de che certo e aí para determinar todo o volume do sólido gerado devido à rotação dessa função fdx em torno dessa reta y igual a um basta somar todas as áreas desses infinitos diz que os pequenos o de zero até x igual a 1 sobre dois e aí com isso a gente vai conseguir determinar o volume de sólido gerado então para determinar esse volume o volume do sólido basta somar a área de todos os discos e pra fazer isso a gente vai utilizar a integral e nós vamos integrar indo do x igual a zero até o x igual a 1 sobre dois a gente vai ter aqui um sobre 2d que da área de todos os discos então a gente vai ter pi vezes 1 - fdx elevada ao quadrado de x já que se trata desse pequeno elemento da profundidade desses discos certo a claro que eu tenho que colocar um de x e um de x é que também já que se trata desse pequeno elemento diária e aí com isso a gente somando todos esses pequenos elementos diária a gente consegue determinar o volume gerado devido à rotação dessa função fdx em torno dessa reta y igual 1 utilizando a mesma lógica agora a gente pode determinar o volume gerado devido à rotação da função gtx então a gente poderia também pegar aqui um pequeno disco a gente poderia pegar aqui com uma pequena barra e também rotacionais só que em torno de si y igual a um certo fazendo isso a gente gerar um disco novamente e fazendo isso para cada elemento sozinho a gente ia gerar diversos discos para determinar o volume então dessa função g bastaria usar a mesma ideia calcular integral e indo de 0 a 1 sobre 2 dp vezes 1 - reddish certo de x de x a claro não posso deixar de colocar o quadrado aqui tudo bem afinal de contas é pierre ao quadrado agora para determinar o que o problema está pedindo que é o volume do sólido gerado devido à rotação dessa área r basta a gente observar que se a gente tem esses dois volumes ea gente quer um volume entre essas duas funções basta calcular a diferença entre os dois volumes assim o volume desses sólido gerado devido à rotação da área r mais igual o volume da função efe - o volume da função de então nós vamos ter aqui a integral indo de 0 a 1 sobre 2 dp vezes 1 - fdx ao quadrado de x - a integral indo de 0 a 1 sobre 2 dp vezes 1 - gd x ao quadrado de xis como nós temos uma integral com os mesmos limites de integração basta a gente colocar tudo que está aqui dentro basta a gente colocar tudo dentro de uma mesma integral e como nós temos que também nos dois termos a gente pode colocar o pneu evidência e jogar pra fora da integral então a gente vai ter aqui algo igual ap vezes a integral indo de 0 a 1 sobre dois de 1 - fdx ao quadrado nem - 11 - de x ao quadrado de x claro que isso aqui já é uma resposta válida mas como você vai está fazendo a avaliação é interessante substituir-se fdx e hoje de x pelos valores que nós já temos aqui em cima tudo bem então a gente vai ter um volume sendo igual ap vezes à integral venda de 0 a 1 sobre dois de 1 - fdx só que fdx é 8x ao cubo então vamos ter menos 8 x ao cubo isso elevada ao quadrado - 1 - the xx é cena de peixes a gente vai ter menos oceano de pyxis ao quadrado tudo isso claro de x-men problema no pet pra resolver ele pede para não resolver só perde para escrever a expressão para integral do volume então com essa expressão aqui a gente consegue determinar integral e assim obter um volume do sólido gerado devido à rotação dessa área r em torno dessa reta y igual a 1
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