2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 4a

RKA3JV - A função "f" é contínua no intervalo indo de -4 até 3. O gráfico de "f" é composto por 2/4 de uma circunferência e um segmento de reta, como mostra a figura ao lado. Seja g(x) = 2x mais a integral indo de zero a "x" de f(t) dt. Bem, isto aqui é um pouco interessante. Mas vamos fazer aqui a parte "a". Encontre g(-3), encontre g'(x) e resolva g'(-3). Toda vez que vemos um "x", colocamos o -3. Então, vai ser 2 vezes -3 mais a integral definida de zero a -3. Ou seja, f(t) dt. Então, a primeira parte é bem simples, 2 vezes -3 é -6. Então, a parte aqui é a integral definida de zero a -3 de f(t) dt. Então, isto é apenas a área abaixo de f(t) ou abaixo de f(x). Tudo bem? De "x" igual a zero a "x" igual a 3. E isto é bastante simples de entender, mas temos que tomar um cuidado aqui. Porque esta área poderia ser a integral. Então, deixe-me fazer isto aqui com uma outra cor. Esta área aqui poderia ser a integral de -3 a zero f(t) dt. Isto poderia ser esta área aqui. Eles trocaram. O número maior é o limite inferior. Zero é o limite inferior. Então, o que poderíamos fazer? Reescrever isto. Assim, tem que trocar o sinal da integral. Então, poderíamos dizer, menos da integral de 3 negativo a zero de f(t) dt. Agora, isto aqui, esta expressão aqui é a área correspondente abaixo deste quarto da circunferência. Podemos entendê-la com um pouco de geometria. Nós sabemos o seu raio, o raio aqui é 3. Toda a área da circunferência é πr². Então, toda área aqui, se fosse um círculo inteiro, seria πr². Então, π vezes 3². Logo, seria 9π. E isto, então, seria 9π. Mas, isto aqui, é apenas 1/4 de uma circunferência inteira. Então, nós temos que dividir por 4 partes. Então, isto seria 9π/4, que é igual a -6. Menos, 9π/4. Isto daqui é a primeira parte da letra "a". Agora, nós temos que encontrar g'(x). A derivada de 2x vai ser 2. Utilizando o teorema fundamental do cálculo, a derivada da integral definida indo de -3 a zero de f(t) dt vai ser apenas f(x). Então, isto é g'(x). Agora, vamos calcular isto para "x" sendo igual a -3. Então, g'(-3) é igual a 2. Mais, f(-3) que é igual a 2. Mais, e vamos ver o que é f(-3). Esta é a definição da função. Quando x = -3, a nossa função está em zero. Logo, f(-3) é zero. Então, isto é 2 mais zero, que dá 2. Então, g'(-3) é igual a 2. E nós terminamos a parte "a". E a parte mais difícil disto é entender os limites de integração, que pode ser fácil pensar. A integral entre zero e -3 é apenas esta área aqui, pois vamos de zero a -3. Mas, você conseguiu entender que, na verdade, nós os invertemos e os fizemos negativos? Se você realmente quer considerar esta área aqui, esta integral vai ser o negativo desta área. E é isso que nós fizemos quando fomos por este caminho.