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a função f é contínua no intervalo - 4 menor ou igual a x que é menor ou igual a 3 o gráfico df é composto por dois quartos de circunferência em um segmento de reta como mostra a figura ao lado seja gtx igual a 2 x mais a integral indo de 0 x df de tdt letras e encontre todos os valores de x no intervalo indo de - 4 a 3 para todos os pontos de inflexão no gráfico dg apresente a razão para as suas respostas um ponto de inflexão ocorre quando o sinal da segunda derivada muda então se tomarmos a segunda derivada em um ponto próximo a ele e ultrapassarmos então sinal mundo de positivo para negativo ou de negativo para positivo para visualizar isso vou fazer alguns exemplos se tomamos uma curva parecida como essa você vai poder notar que a curvatura é negativa mas está aumentando ou seja ficando menos negativa a igualando a 0 e aumentando a curvatura aumenta ao longo da trajetória até que começa a ficar menos positiva e então começa a decrescer a curvatura começa aumentando até esse ponto e mesmo sendo negativa vai ficando menos negativa portanto está aumentando ea inclinação continua aumentando ou seja ficando cada vez mais positiva até esse ponto onde ela ainda é positiva mas começa a ficar menos positiva e vai diminuindo a partir daí então a inclinação passa a diminuir e aqui temos o ponto de inflexão a inclinação passou decrescente para decrescente e o mesmo acontece se mudar de decrescente para crescente já que também será um ponto de inflexão o exemplo talvez seja uma curva trigonométrica e aí você veria algo assim aqui também teremos um ponto de inflexão no nosso problema função gtx é de difícil visualização na forma como foi definida então a melhor opção para se resolver o problema é procurar as mudanças de sinal da segunda derivada e para isso precisamos da segunda de levada em função bem vamos escrever gd xis aqui sabemos que gd x é igual a 2 x 1 mas a integral definida de zero a x df de tdt já calculamos anteriormente essa elevada mas vamos fazer aqui novamente usando o teorema fundamental do cálculo teremos g linha de x igual a 2 mas a derivada desse termo que equivale fdx tomando a segunda derivada de gd x teremos a derivada de 2 que vale zero ea derivada de fdx ou seja é filhinha de x equivale a mudança de sinal na primeira derivada df e procurando a mudança de sinal na primeira derivada df equivale a procurar onde a inclinação df muda de sinal então equivale a procurar onde a inclinação df muda de sinal chamaremos de a inclinação ou inclinação instantânea df e desejamos saber onde essa inclinação muda de sinal vem vamos pensar um pouco aqui a inclinação é positivo seja está aumentando mas o que importa é que seja positivo então temos uma inclinação positiva ao longo de todo esse trecho está aumentando e é positiva agora está ficando menos positivo está começando a diminuir mas ainda é positiva ela é positiva até esse ponto aqui me parece que estamos próximos de zelo ea partir daqui a inclinação fica negativa isso é interessante pois mesmo que f não seja diferenciável nesse ponto ea função não é diferenciado nesse ponto pois a inclinação é muito próxima de zero e de repente passa a valer menos três temos uma descontinuidade na derivada da função bem nesse ponto mas existe uma mudança de sinal passando de uma inclinação positiva nessa região para uma inclinação negativa nessa outra região observamos uma mudança de sinal bem aqui em x igual a zero a mudança de sinal na primeira derivada df o que equivale a dizer que há uma mudança na segunda derivada de g e mudança de sinal na segunda derivada de g nos dizem que para x igual a zero temos no gráfico de jeon ponto de inflexão
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