2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 4c

RKA4JL - A função f é contínua no intervalo -4 menor ou igual a x, que é menor ou igual a 3. O gráfico de f é composto por dois quartos de circunferência e um segmento de reta, como mostra a figura ao lado. Seja g(x) igual a 2x mais a integral indo de zero a x de f(t) dt, letra (C): encontre todos os valores de x no intervalo indo de -4 a 3 para todos os pontos de inflexão no gráfico de g. Apresente a razão para as suas respostas. Um ponto de inflexão ocorre quando o sinal da segunda derivada muda. Se tomarmos a segunda derivada em um ponto próximo a ele e o ultrapassarmos, então o sinal muda de positivo para negativo, ou de negativo para positivo. Para visualizar isso vou fazer alguns exemplos. Se tomamos uma curva parecida como essa, você vai poder notar que a curvatura é negativa, mas está aumentando, ou seja, ficando menos negativa, igualando-se a zero e aumentando. A curvatura aumenta ao longo da trajetória até que começa a ficar menos positiva, e então começa a decrescer. A curvatura começa aumentando até esse ponto e mesmo sendo negativa vai ficando menos negativa, portanto está aumentando, e a inclinação continua aumentando, ou seja, ficando cada vez mais positiva até esse ponto onde ela ainda é positiva, mas começa a ficar menos positiva e vai diminuindo a partir daí. Então a inclinação passa a diminuir e aqui temos o ponto de inflexão. A inclinação passou de crescente para decrescente e o mesmo acontece se mudar de decrescente para crescente, já que também será um ponto de inflexão. O exemplo talvez seja uma curva trigonométrica e você veria algo assim. Aqui também teremos um ponto de inflexão. No nosso problema função g(x) é de difícil visualização na forma como foi definida, então a melhor opção para se resolver o problema é procurar as mudanças de sinal da segunda derivada, e para isso precisamos da segunda derivada em função... Vamos escrever g(x) aqui. Sabemos que g(x) é igual a 2x mais a integral definida de zero a x de f(t) dt. Já calculamos anteriormente essa derivada, mas vamos fazer aqui novamente. Usando o teorema fundamental do cálculo teremos g'(x) igual a 2 mais a derivada desse termo aqui, que vale f(x). Tomando a segunda derivada de g(x) teremos a derivada de 2, que vale zero, e a derivada de f(x), ou seja, f'(x), o que equivale à mudança de sinal na primeira derivada de f. Procurar a mudança de sinal na primeira derivada de f equivale a procurar onde a inclinação de f muda de sinal, então equivale a procurar onde a inclinação de f muda de sinal. Chamaremos de “a” a inclinação, ou inclinação instantânea de f, e desejamos saber onde essa inclinação muda de sinal. Vamos pensar um pouco. Aqui a inclinação é positiva, ou seja, está aumentando, mas o que importa é que seja positiva, então temos uma inclinação positiva. Ao longo de todo esse trecho está aumentando e é positiva, e agora está ficando menos positiva, está começando a diminuir, mas ainda é positiva. Ela é positiva até esse ponto aqui. Parece que estamos próximos de zero. A partir daqui a inclinação fica negativa. Isso é interessante, pois mesmo que f não seja diferenciável nesse ponto, e a função não é diferenciada nesse ponto, pois a inclinação é muito próxima de zero e de repente passa a valer -3, temos uma descontinuidade na derivada da função, bem nesse ponto, mas existe uma mudança de sinal passando de uma inclinação positiva nessa região para uma inclinação negativa nessa outra região. Observamos uma mudança de sinal bem aqui, em x igual a zero a mudança de sinal na primeira derivada de f, o que equivale a dizer que há uma mudança na segunda derivada de g, e mudanças de sinal na segunda derivada de g nos dizem que para x igual a zero temos no gráfico de g um ponto de inflexão.