2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 4d

RKA3JV - A função contínua "f" é definida no intervalo entre -4 e 3. O gráfico de "f" consiste em 2/4 de circunferência e um segmento de reta como mostrado na figura ao lado. Seja, g(x) = 2x mais integral de zero a "x" de f(t) dt. Isto aqui se refere às letras "a", "b" e "c". Vamos fazer a letra "d". Encontre a taxa média de mudança de "f" no intervalo entre -4 e 3. Não existe um ponto "c" neste intervalo, para o qual a derivada de "f" no ponto "c" é igual à taxa média de mudança. Explique a razão que esta condição não contradiz o teorema do valor médio. Bem, primeiro, vamos calcular qual é a taxa de mudança média de -4 até 3. Ora, essa nossa inclinação ou a taxa de mudança, vamos colocar a inclinação, a inclinação vai ser Δy / Δx. Ora, quem vai ser o nosso Δx? O nosso Δx vai ser de -4 até 3. O nosso Δx vai ser 7. E quem é que vai ser o nosso Δy? O nosso Δy vai ser de -1 até -3. Vai variar, o nosso Δy = -2. Portanto, essa taxa de variação fica -2/7, esta inclinação. O que ele está afirmando é que não existe um f' para um ponto "c" que seja igual à taxa média. Ou seja, o que significa o teorema do valor médio? O teorema do valor médio nos diz o seguinte, se você tem uma determinada função contínua entre dois pontos, aqui nós temos "y", aqui temos "x" e temos uma função qualquer entre dois pontos. Vou colocar um ponto aqui, outro ponto aqui. Nós temos uma função que faz isso. A nossa taxa média vai ser essa inclinação. Esta vai ser nossa inclinação média. Em algum ponto dessa função, como ela é contínua e derivável, ela tem uma inclinação que é igual à taxa média neste ponto e neste outro ponto. O que acontece com essa função é que neste lado de cá, do lado esquerdo do ponto zero, nós temos sempre uma inclinação positiva. Aqui ela é zero. Tudo bem, mas depois no intervalo, não incluindo o -4 e não incluindo o 3, ela é sempre positiva. Até que ela chega aqui e tem uma inclinação zero. Aqui a gente tem um ponto de quebra, a função passa de uma inclinação zero, abruptamente, para uma inclinação que vai na variação do "y" de 3 até -3, variou -6. E de zero até 3, variou 3. Ou seja, essa inclinação desta reta vai ser -2. O que nós não vemos é, em nenhum ponto, uma inclinação dessa de -2, ser igual à taxa do valor médio. Mas isso não significa que o teorema do valor médio esteja errado. Apenas que neste ponto, há um ponto de quebra. Então, por haver um ponto de quebra, se a função fosse uma função deste outro tipo aqui, se ela fosse uma função que não tivesse um ponto de quebra, uma função que fizesse um negócio deste tipo aqui, em algum ponto, essa inclinação do valor médio seria um cara por aqui, que teria inclinação igual a do valor médio. Ou seja, o que o teorema do valor médio nos diz? Ele fala o seguinte, que se nós pegarmos 1/7 que é este intervalo de -4 até 3, da integral de -4 até 3 de f(x) dx, este é o nosso valor médio. Vai ser o f(3) - f(- 4) sobre 3 - (- 4). Ou seja, variou 7. Aqui nós temos nosso Δy e aqui nós temos o nosso Δx. O que ele está dizendo é que não existe um f' no ponto "c" que seja igual ao valor médio. Ou seja, não existe uma inclinação que seja igual ao do valor médio em toda esta curva, embora ela seja contínua. E isso se deve ao fato que neste ponto ela não é derivável, embora seja contínua, ela não é derivável. Portanto, não existe uma inclinação que seja igual ao valor médio em toda a função, mas não contradiz o teorema do valor médio.