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Cálculo Avançado AB 2015 5a

Máximos de f a partir do gráfico de f'.

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RKA2G - A figura acima mostra o gráfico de f', a derivada de uma função duas vezes diferenciável "f", em um intervalo indo de -3 a 4. O gráfico de f' tem tangentes horizontais em x = -1, x = 1 e x = 3. Se nós temos tangentes horizontais, significa que temos uma reta tangente neste ponto x = -1, sendo horizontal, em x = 1 também temos uma reta tangente sendo horizontal e aqui em x = 3 também temos uma reta horizontal. Então, temos aqui neste gráfico f', nestes três pontos, estas retas horizontais, retas tangentes horizontais. As áreas das regiões delimitadas pelo eixo "x" e o gráfico de f' do intervalo de -2 a 1 e de 1 a 4 são 9 e 12, respectivamente. Então, a área de -2 a 1 corresponde a toda esta área. E a área indo do intervalo 1 a 4 corresponde a esta outra área. E, como a questão disse, esta primeira área tem um valor igual a 9 e esta outra área tem um valor igual a 12. Letra A: "Encontre todas as coordenadas "x" em que "f" tem um máximo relativo. Explique a sua resposta." A primeira coisa que você poderia olhar para este gráfico e dizer é: "Olha, aqui neste ponto x = 1 é um ponto de máximo relativo." Errado, porque este gráfico não é o gráfico da função "f", mas sim o gráfico da derivada f'. Então, como poderíamos determinar e indicar o ponto "x" aqui, em que tivéssemos um ponto de máximo relativo? Uma forma de fazer isso seria observando a definição de máximo relativo. Todas as vezes que nós tivermos um gráfico deste jeito, uma espécie de nódulo, poderia ser desse jeito, mas também poderia ser deste jeito, desde que a função fosse totalmente diferenciada neste intervalo. Aqui teríamos um ponto de máximo relativo e aqui também teríamos um ponto de máximo relativo. Mas vamos observar este primeiro gráfico. O ponto de máximo relativo seria aqui. Vou fazer com outra cor. Aqui a gente teria um ponto de máximo relativo. Se você observar bem, aqui a gente tem uma função e está aumentando. Temos uma função que está ficando cada vez maior. E, se observarmos a reta tangente em cada um destes pontos, sempre vamos encontrar uma inclinação positiva. E a inclinação da reta tangente é determinada através da derivada da função. Isto significa o quê? Que, todas as vezes que a gente tem uma função aumentando, vamos ter uma derivada dessa função, ou seja, um f'(x), sendo positivo. Todas as vezes que a função está aumentando, como neste caso, vamos ter a derivada dessa função sendo maior que zero, sendo positiva. Aqui temos um ponto e, depois desse ponto, a gente observa que a função vai começar a diminuir. E, se você observar a inclinação aqui em qualquer ponto, vai ver que a inclinação sempre vai ser negativa. Ou seja, a derivada da função vai ser negativa. Então, podemos dizer que, todas as vezes que a gente tem a função diminuindo, a derivada dessa função, ou seja f'(x), vai ser negativa. E o que isto nos mostra? Isto nos mostra que, para um ponto ser um ponto de máximo relativo, antes desse ponto a gente tem que ter uma derivada positiva e depois desse ponto a gente tem que ter uma derivada negativa. O ponto de máximo relativo da função vai ser aquele ponto em que está ocorrendo uma transição da derivada sendo positiva para negativa. Podemos até anotar isso aqui. As coordenadas... Vamos colocar aqui... As coordenadas "x" que possuem uma transição de f'(x) positivo para f'(x) negativo são pontos de máximos relativos para f(x). Então, todas as vezes que temos um ponto "x" em que está ocorrendo uma transição entre uma derivada positiva para uma derivada negativa dessa função f(x), nós vamos ter, nesse ponto, um ponto de máximo relativo. Vamos observar onde está ocorrendo aqui no gráfico. Como você pode observar, o único intervalo em que a gente tem valores positivos para a derivada f' é aqui, vindo do -3 ao -2. Quando chega neste ponto x = -2, a gente tem uma transição para valores negativos. Então, o ponto em que está ocorrendo uma transição da derivada negativa para a derivada positiva é o ponto x = -2. Podemos anotar isto, inclusive. Este ponto é o x = -2.