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Cálculo Avançado AB 2015 6b

Ponto na curva onde a tangente é vertical.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - Obtenha as coordenadas de todos os pontos desta curva nos quais a reta tangente à curva nestes pontos seja vertical. Queremos, então, obter todos os pontos naquela curva, onde a reta tangente é vertical. Vamos nos lembrar do que é a inclinação da reta tangente. Se tivermos uma reta horizontal, paralela ao eixo das abscissas, a sua inclinação é zero, ou seja, a variação de "y" em relação a "x" é zero. O que dizer sobre uma reta vertical? Qual é a variação de "y" em relação a "x"? Alguns podem dizer que é infinito, ou então dizer que é indefinida, isso porque você vai tentar dividir por zero, já que a variação em "x" é zero, enquanto a variação em "y" é um valor muito grande. Mas também poderíamos pensar nesta reta como a variação de "x" em relação à variação de "y". Observe que estamos fazendo o inverso do que tínhamos antes. Essa análise pode ser feita já que não há variação em "x" enquanto existe variação em "y", e esse resultado é zero, ou seja, ao não variar nada em "x" temos uma grande variação "y". Podemos, então, trabalhar com isso para achar as coordenadas dos pontos em que a reta tangente à curva é vertical. Temos aqui, no enunciado, a equação da curva e também temos o que é o dy/dx. A equação da curva é "y³ - xy = 2". Sabemos também por derivação implícita, que "dy/dx = y/3² - x". Observe que para a curva que temos aqui, o dx/dy que nos interessa, porque podemos facilmente olhar para a reta vertical assim, é o inverso do dy/dx que o enunciado nos deu. Portanto, o dx/dy vai ser "3y² - x/y", e desejamos que isso seja igual a zero. Para que isso seja igual a zero, basta que o numerador seja zero e óbvio, o denominador não seja zero. Escrevendo o numerador que é "3y² - x = 0", vamos adicionar "x" dos dois lados, ficamos com "3y² = x". Vamos voltar ao enunciado. Nós estávamos procurando valores de "x" em que o dy/dx fica indefinido e o dy/dx que já temos do enunciado fica indefinido quando o denominador é zero. E observe que é exatamente o que estamos procurando aqui. Observe que é mais fácil analisar quando o "dx/dy = 0" do que analisar quando o dy/dx é indefinido. Entretanto, são ideias equivalentes neste caso, nós vamos chegar à mesma conclusão com as duas. Bem, para que aquilo então seja verdadeiro, ou seja, dy/dx indefinido, o "x" deve ser igual a 3y². Além disso, o par ''xy" tem também que satisfazer a equação da curva que é "x³ - xy = 2". Então agora, a ideia é obter "x'' e "y" usando estas duas equações. E uma coisa em que eu posso pensar é, na primeira equação, substituir o "x" pelo 3y² que temos ali embaixo. Vamos escrever novamente a equação original da curva aqui. y³ menos, agora no lugar do "x" vamos escrever 3y², vezes o "y" igual a 2. Simplificando, temos y³ - 3y³ = 2, portanto, -2y³ = 2, dividindo por -2 vamos ter "y³ = -1". Portanto, temos "y = -1". Agora que já sabemos que o "y = -1", resta saber qual é o valor do "x", afinal, essa era a pergunta inicial. Vou voltar a esta outra equação e m que "x = 3y²", portanto, vamos ter "x = 3(-1)². -1² é 1, vezes 3, dá 3, portanto, "x = 3". Agora temos o "y" e o "x", que fazem com que o dx/dy seja zero, portanto, dy/dx seja indefinido. Este ponto é onde onde o "x'' vale 3 e o "y" seja -1. E esta é a resposta para o problema. Até o próximo vídeo!