Cálculo Avançado AB/BC 2015 1ab

RKA8JV - "A velocidade que a água da chuva flui para um tubo de drenagem é modelada pela função R(t) = 20sen(t²/35), em decímetros cúbicos por hora. "t" são medidos em hora e 0 ≤ t ≤ 8. O tubo é parcialmente bloqueado, permitindo que a água escorra a outra extremidade do tubo a uma taxa modelada por D(t) = -0,04t³ + 0,4t² + 0,96t em decímtros cúbicos por hora, para ter entre 0 ≤ t ≤ 8. Há 30 decímtros cúbicos de água no tubo no instante "t = 0". Letra "a": Quantos decímetros cúbicos de água de chuva flui para dentro do tubo durante o intervalo de tempo de 8 horas? Ou seja, no intervalo de "t" entre zero e 8 horas. Ora, para a gente fazer isso, nós temos que fazer a integral de zero até 8 de R(t) dt. Isso vai ser a integral de zero até 8 de 20 vezes o sen(t²/35) dt. Como nesta prova a gente pode usar a calculadora eletrônica, neste caso aqui, vamos fazer a simulação através de modelos. Bem, aqui simulando modelos, nós temos dR/dt = 20sen(t²/35). Isso significa que "R" é a integral de 20 vezes sen(t²/35). Nós vamos fazer a simulação de "t = 0" até 8, e com isso vamos saber quanto vale o "R" em 8 horas. Ele está obedecendo esta função. Então, nós temos em 8 o valor da razão de 76,57. Então, 76,57 dm³. Letra "b": A quantidade de água no tubo aumenta ou diminui no instante "t = 3 horas"?. Justifique sua resposta. Ora, o tubo está entrando água na razão R(t), e está saindo a água na razão de D(t). Para sabermos se o volume aumenta ou diminui nesse instante, basta saber se em R(3) é maior do que D(3), e com isso a água está aumentando, e se R(3) for menor do que D(3), a água está diminuindo. Então, basta calcular. Vamos pegar R(3) = 20sen(3²/35). Então, a gente vai fazer na calculadora. Vamos fazer aqui na calculadora. Nós temos 3²/35, seno vezes 20, que vamos ter 5,09 dm³/h. Vamos ver agora, o D(3). Vai ser -0,04 vezes 3³ mais 0,4 vezes 3² mais 0,96 vezes 3. Isso vai ser igual a: 0,04, troco o sinal, vezes 3³, igual, mais 0,4 vezes 3², igual, mais 0,96 vezes 3, igual, 5,4. Portanto, o nosso D(3) é 5,4 dm³/h, o que é maior do que o R(3). Portanto, a água está diminuindo.