Cálculo Avançado AB/BC 2015 1d

RKA2G - Parte D: o tubo pode conter 50 pés cúbicos de água antes de transbordar. Para "t" maior que 8, a água continua a fluir, entrando e saindo do tubo nas taxas dadas, até o tubo começar a transbordar. Escreva, mas não resolva, uma equação envolvendo uma ou mais integrais que dê o tempo "w" em que o tubo começará a transbordar. A primeira coisa que devemos perceber é que, quando o tubo vai começar a transbordar, estamos atravessando o limite de 50 pés cúbicos de volume de água. O que precisamos descobrir, portanto, é a que instante o tubo tem 50 pés cúbicos de água. Vamos lembrar que eu usei o W maiúsculo para indicar a quantidade de água no tubo em função do tempo "t". Então, aqui queremos: W(w) = 50. Agora basta resolver isto e obter o valor de "w". Mas lembre-se de que o enunciado apenas pediu para escrever a equação, e é isso que nós vamos fazer. Pelo que temos definido no item C, W(w) vai ser 30 mais a integral de zero até "w", de R... Como eu não tenho "t" em um dos limites de integração, eu posso colocar aqui na integral. Integral de R(t) - D(t) dt. E isto tudo, que é a quantidade total de água no tubo, vai ser igual a 50. Esta, portanto, é uma equação envolvendo integral que nos dá o instante. Se eu resolver esta equação, eu vou ter o instante em que o tubo começa a ter a água sendo transbordada. Temos, portanto, uma equação e você pode analisá-la. Substituindo valores maiores para "w", você vai ver que o fluxo de entrada de água é maior do que o fluxo de saída. Nós sabemos que o valor de "w" é maior do que 8, pelo enunciado. Poderemos, também, estudar qual é a quantidade de água no tubo quando o tempo vale 8, que foi o que fizemos no item anterior. Nós já sabemos que, quando o tempo é 8, temos um volume de água de 48,544 pés cúbicos, o que é uma aproximação. Podemos concluir, portanto, que, já que "w" é maior que 8, esse 48,544 é o volume de água em um instante t = 8 e o total do tubo vai ser esse valor, mais a integral de 8 até "w" de R(t) - D(t) dt. E isso tem que ser igual a 50. Qualquer uma dessas equações nos vai levar ao mesmo lugar, ou seja, determinar o instante "w" em que temos 50 pés cúbicos de água no tubo. E, novamente, você poderia testá-la verificando valores de "w" maiores e identificando que haveria um fluxo de entrada de água maior do que o de saída no tubo e isso faria com que ele tivesse o seu volume de água aumentado até chegar a transbordar. E o instante para isso é o que estamos procurando. Até o próximo vídeo!