Cálculo Avançado AB/BC 2015 3a

[RKA20C] Johanna corre ao longo de um caminho linear. Para 0 ≤ t ≤ 40, a velocidade de Johanna é dada por uma função diferenciável v. Os valores de v(t), em que t é medido em minutos e v(t) é medido em metros por minuto, são apresentados na tabela acima. Então, a gente tem esta tabela em que aqui tem os tempos em minutos e aqui tem a velocidade em metros por minutos. Use os dados da tabela para estimar o valor v'(16). Observe que o problema está pedindo v'(16), e não v(16). O interessante é que esse v', que é a derivada de v(t), nem está apresentado aqui na tabela, a gente só tem os tempos e as velocidades, ou seja, v(t). Então, como a gente consegue estimar... Lembre-se que é uma estimativa apenas! Como estimamos o valor de v'(16)? Para fazer isso, a gente pode dizer que v'(16) vai ser aproximadamente igual à inclinação da reta que liga os pontos ao redor de 16. E quais seriam os pontos ao redor de 16? Bem, a gente tem aqui 12 e 20, 16 é um tempo que está entre esses dois pontos. Então, a gente pode encontrar uma estimativa para a inclinação de v(16), ou seja, v'(16), utilizando esses dois pontos. Para fazer isso, a gente pode fazer o seguinte: a gente pode calcular a variação de v(t) entre 12 e 20 sobre a diferença, ou seja, a variação entre 12 e 20. Então, vamos fazer isso. A gente pode colocar aqui v(20) - v(12), e isso dividido pela própria variação entre os pontos 12 e 20. Para fazer isso, basta subtrair o 20 com o 12. O v(20) a gente já tem aqui na tabela, que vale 240. Então, v(20) = 240. E v(12) a gente também tem aqui na tabela, que vale 200. v(12) = 200. Então, isto aqui, este v'(16), vai ser igual a 240 - 200, que é 40, dividido por 20 - 12, que é 8: 40/8 = 5. 5 metros por minuto por minuto. Ou seja, minuto². A gente pode colocar aqui (minuto)². Então, v'(16) é igual a 5 metros por (minuto)². Novamente, como eu disse, isto aqui é uma estimativa para esse v'(16), tudo bem? Por isso, a gente utilizou essa ideia para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto t = 16 para essa função v(t). Bem, resolvendo até aqui, já estaria muito bom para o problema. O problema não pedia mais que isso. Mas, só para a gente ter uma ideia melhor, vamos tentar visualizar isso a partir de um gráfico? Então, deixa eu fazer um gráfico aqui. A gente tem aqui o nosso y = v(t), e, aqui, o nosso eixo x. O nosso eixo x, na verdade, é o tempo t. Então, a gente coloca aqui o t. O nosso eixo y, que é v(t), varia de um valor máximo positivo igual a 240 até um valor negativo igual a -220. Então, a gente não precisa colocar intervalos maiores que esse. A gente vai colocar aqui para baixo 100, 200 e 300, com valores negativos, claro. Então, a gente vai ter aqui: -100, -200 e aqui -300. É legal a gente fazer de 100 em 100. Vai dar para ter uma boa visualização. A mesma coisa aqui, aqui sendo 0, aqui o +100, +200 e o +300. Então, a gente vai ter +300 aqui. No tempo, a gente tem uma variação que vai de 0 a 40. Então, a gente pode colocar a divisão aqui de 10 em 10 indo de 0 a 40. A gente tem aqui 40 minutos. Mais ou menos aqui no meio... Mais ou menos, não, no meio, exatamente, a gente tem o 20. No meio aqui, entre 0 e 20, a gente tem 10, e no meio, entre 20 e 40, a gente tem o 30. Então, conseguimos fazer bem essa divisão. Agora, o que a gente vai fazer é utilizar estes pares ordenados aqui para encontrar todos os pontos neste gráfico. O primeiro ponto que a gente tem é (0, 0). Aqui, a gente tem esse primeiro ponto. O segundo ponto é quando o tempo é igual a 12, então, mais ou menos aqui, e v(t) é 200. Então, a gente vai ter um ponto mais ou menos aqui, certo? E o nosso terceiro ponto é quando t = 20 e v(t) = 240. A gente vai ter algo mais ou menos aqui. No quarto ponto, o tempo vale 24, e a velocidade -220. Então, é mais ou menos aqui. Indo até -220, seria este ponto aqui, mais ou menos. E o último é quando o tempo vale 40 e a velocidade vale 150, mais ou menos aqui, beleza? Então, já pegamos e marcamos todos os pontos aqui no gráfico. O que nos interessa, o que o problema pedia, é a inclinação v'(16). O que a gente fez aqui foi encontrar a inclinação da reta secante que liga dois pontos ao redor desse 16. Assim, a gente tem uma boa estimativa. Qual era essa reta secante? Era a reta secante entre estes dois pontos aqui, em que um tempo vale 12 e o outro tempo vale 20. Então, a gente vem aqui e traça essa reta secante entre esses dois pontos, e a gente consegue encontrar uma boa estimativa para a inclinação nesse tempo igual a 16 calculando a inclinação dessa reta secante. Então, a gente tem 16, que é mais ou menos aqui... Na verdade, é o ponto médio entre 12 e 20, que é este ponto. E, para encontrar a inclinação dessa secante, o que a gente fez aqui foi pegar essa variação em v(t), então, a gente teria aqui um Δv, e dividir por isso aqui, Δt. Dessa forma, a gente consegue encontrar uma aproximação muito boa para esta inclinação da reta neste ponto aqui, em que t = 16. Dessa forma, a gente consegue encontrar uma aproximação até muito boa, que é, inclusive, a derivada. Aqui, neste ponto, a gente tem a derivada de v(t), que é v'(t), certo? Quando t = 16. E, embora a gente não conheça o v(t) para calcular a derivada, a gente consegue uma boa aproximação calculando a inclinação da reta secante entre estes dois pontos aqui, ao redor desse tempo igual a 16. Espero que você tenha gostado deste vídeo e aproveitado bastante estas ideias!