Cálculo Avançado AB/BC 2015 3cd

RKA3JV - Bob está andando de bicicleta ao longo do mesmo caminho. Para o intervalo de tempo indo de zero até 10, a velocidade de Bob é descrita pela função B(t) = t³ - 6t² + 300. Encontre a aceleração em "t = 5". Bem, o que nós temos que fazer aqui neste ponto é determinar a aceleração sofrida pela bicicleta de Bob, ao longo deste caminho, neste intervalo de tempo que vai de zero até 10 minutos. E tendo essa função que descreve a velocidade de Bob nós conseguimos encontrar rapidamente a aceleração dele, simplesmente derivando essa função. A partir do momento que a gente derivar, a gente vai substituir o tempo aqui por 5, afinal de contas é o momento que nós estamos querendo determinar a aceleração. Então, vamos fazer este cálculo. A primeira coisa, a gente vai derivar esta função B(t). Então, a gente vai calcular B'(t). E a derivada desta função B(t), como se trata de um polinômio, basta utilizar a regra da potência. Assim, a derivada de t³ vai ser igual a 3t². Aqui -6t² e a derivada de 6t², a gente joga o 6 aqui para fora da derivada. E isso, vezes o 2, que a gente joga para frente, vezes 6. 6 vezes 2 é igual a 12. Então, a gente tem -12t. O 300 é uma constante e a derivada de uma constante é zero. Então, a derivada de B(t) é 3t² - 12t. Agora, que a gente já calculou essa derivada, a gente pode calcular essa derivada no ponto t = 5. Em que essa derivada representa a aceleração de Bob. E aí, neste caso, neste tempo, igual a 5 minutos. Então, a gente tem aqui 3 vezes 5t² - 12t. Em que "t = 5". 12 vezes 5 vai ser igual a 5² = 25 e 3 vezes 25 igual a 75. Então, a gente tem aqui 75, menos, 12 vezes 5 é 60. 75 - 60 = 15. Então, a aceleração de Bob neste momento "t = 5" é igual a 15. Mas 15 o quê? Qual seria essa unidade de medida? Bem, a unidade de medida aqui, neste caso, seria a seguinte: a unidade de medida da velocidade pela unidade de medida de tempo. A unidade de medida da velocidade é metros por minuto. Assim, a gente vai ter metros por minuto, por minuto. E é a mesma coisa que metros por minuto, por minuto. Então, é minuto elevado ao quadrado. Então, a gente vai ter 15 metros por minuto elevado ao quadrado. E essa é a aceleração de Bob nesse tempo "t" igual a 5 minutos. Letra "D", baseado no modelo da parte "C", encontre a velocidade média de Bob ao longo do intervalo de tempo indo de zero até 10 minutos. Aqui, neste caso, como a gente quer determinar a velocidade média, a gente precisa encontrar a média de uma função. E se você não sabe muito a respeito disso, não deixe de assistir um dos vídeos que já lançamos aqui, a respeito da média de uma função. E aí, neste caso, para determinar essa velocidade média, o que nós precisamos fazer é determinar a área abaixo da curva no gráfico desta função B(t) e depois dividir pelo comprimento da base desta figura formada no gráfico. Ou seja, pela variação entre zero e 10. Então, vamos lá! Vamos calcular isso aqui. Para a gente determinar essa velocidade média, a gente precisa, como eu disse, calcular a área abaixo da curva. Para a gente determinar a área baixo da curva, a gente pode integrar, fazer uma integral definida entre zero e 10. Então, os nossos limites de integração serão zero e 10 da nossa função B(t), da nossa função aqui B(t), dividido pelo tamanho da base desta figura formada pelo gráfico. E aí, neste caso, como também já falei, vai ser o nosso intervalo de tempo aqui. Neste caso, o intervalo entre zero e 10 é igual a 10. Então, vamos calcular isto aqui. A gente vai ter 1, isso vai ser igual a 1/10. 1/10, neste caso, da integral indo de zero até 10 de B(t). E B(t) é esta função aqui. t³ - 6t² + 300 dt. Isso é igual, neste caso, aqui agora a gente vai ter novamente 1/10, porque este 1/10 está fora da integral. E aí, a gente vai integrar isso aqui. Como se trata de um polinômio, é muito simples resolver esta integral. Basta somar 1 aqui no expoente e a gente vai ter um novo expoente e depois dividir por este novo expoente. t³ vai ser igual a "t" elevado a 3 + 1, que é 4, dividido por 4. Menos, o 6 a gente pode colocar fora desta integral. Então, a gente vai ter 6 vezes a integral de t² ou a antiderivada de t². E a antiderivada de t², neste caso, vai ser t³ / 3. 6 vezes t³ / 3 é igual a 2 vezes t³, mais, no caso, como a gente tem uma constante, a gente repete essa constante que é 300, e multiplica pela antiderivada de 1, que é "t". Esta aqui é a antiderivada ou integral desta função. E aí, a gente vai avaliar essa antiderivada indo de zero a 10. Isso vai ser igual a quanto? Bem, isso aqui vai ser igual a 1/10 de, a gente calcula tudo isso aqui em 10 e depois calcula tudo isso em zero, e subtrai a resposta de um pela resposta do outro. Então, vamos calcular tudo isso aqui em 10. 10⁴ = 10.000 10.000 / 4 = 2.500. A gente vai ter aqui 2.500, menos, 2 vezes 10³. 10³ = 1.000 2 vezes 1.000 é 2.000. Então, a gente tem -2.000. Mais, 300 vezes 10, que é igual a 3.000. Isso tudo aqui, menos tudo isso calculado em zero. Mas quando a gente calcular tudo isso em zero, a gente vai ter como resposta o próprio zero. Então, a gente nem precisa colocar aqui, porque afinal de contas a gente vai ter tudo isso menos zero. Então, basta calcular isso aqui que aí a gente vai conseguir determinar a velocidade média. Então, vamos lá! 2.500 - 2.000 = 500 e 500 + 3000 = 3.500. Então, tudo isso aqui vira 3.500. Ou seja, tudo isso é igual a 3.500. 1/10 de 3.500, ou seja, 3.500 /10 = 350. 350 o quê? Metros por minuto. Esta é a velocidade média neste intervalo de tempo que vai de zero a 10 minutos.