Cálculo Avançado AB/BC 2015 4ab

RKA4JL - Observe a seguinte equação diferencial: dy/dx igual a 2x menos y. Nos eixos dados, y e x, esboce a inclinação da curva para a equação diferencial nos seis pontos indicados. Vamos ver em cada um desses pontos. Vamos colocar aqui uma tabela onde nós temos x, temos y e temos dy/dx. x neste ponto, vamos começar por este ponto, dá 1 e y vale -1. Nesse ponto aqui, então, quando x vale 1, y vale -1. Portanto dy/dx vai ser 2 vezes 1 menos -1, o que vai dar 2 mais 1, que é igual a 3, ou seja, a inclinação é igual a 3. É uma inclinação bem forte, uma inclinação bem alta. Vamos para outro ponto. Vamos para esse ponto aqui, 1 e 1. Quando x for 1, y é 1. Então dy/dx dá 2 vezes 1 menos 1, que vai dar 2 menos 1 igual a 1, o que vai dar uma inclinação dessa forma aqui. Vamos ver para esse ponto aqui quando x é 1 e y é 2, nós temos 2 vezes 1 menos 2 igual a zero, ou seja, essa inclinação é zero. Vamos ver este outro ponto aqui, x é igual a zero e y é igual a -1. 2 vezes zero, zero, -(-1), o que vai dar inclinação igual a 1, ou seja, vai ter a mesma inclinação dessa reta aqui. Ou seja, vai ser uma reta paralela àquela. Nesse ponto x é igual a zero e y igual a 1, então temos 2 vezes zero menos 1, o que vai dar -1, ou seja, nós vamos ter uma inclinação dessa forma aqui, que é a mesma inclinação dessa, só que esta é negativa. Neste ponto zero e 2 nós vamos ter zero, 2, 2 vezes zero menos 2, o que vai dar -2 de inclinação. Então vai ser uma inclinação maior do que essa de -1, mas não tão inclinada como a de 3. Então temos todas as inclinações para esses pontos. Vamos ver, agora, a letra (B): encontre a segunda derivada de y em relação a x em termos de x e y. Determine a concavidade para todas as soluções para a curva diferencial dada no segundo quadrante. É importante isso, deixe-me frisar "no segundo quadrante". Explique. A segunda derivada é a derivada da primeira, então vamos pegar a segunda derivada e vamos derivar dy/dx, derivar em relação a x. Nós sabemos quem é dy/dx. É 2x menos y. Então nós temos a derivada de 2x menos y sobre dx. Vamos ter 2 menos a derivada de y em relação a x, mas nós sabemos quem é a derivada de x em relação a x. Então vamos ficar com 2 menos 2x menos y e vamos obter 2 menos 2x mais y. Verificando esta equação, nós vamos ver se ela é positiva ou negativa. Se ela for positiva a concavidade é para cima, e se for negativa a concavidade é para baixo. No segundo quadrante nós temos o seguinte: temos aqui o primeiro quadrante, o segundo quadrante, nós temos aqui o terceiro quadrante, aqui o quarto quadrante, lembrando que aqui é y e aqui é x. No segundo quadrante nós temos que x é negativo, x é menor do que zero, mas no segundo quadrante nós temos que y é positivo, então y é maior do que zero. Portanto, se x é um cara negativo, quando ele for multiplicado por um cara negativo vai ser maior do que zero e como y é maior do que zero, esse camarada aqui também é maior do que zero. E ainda nós temos o 2, que é um número maior do que zero, ou seja, toda essa expressão é maior do que zero. Portanto a concavidade é para cima. A concavidade sendo para cima e mais a nossa curva que fez a derivada, nós temos a inclinação. O x ser negativo e y, positivo, significa que essa inclinação é negativa, então nós vamos ter a inclinação deste lado da parábola e essa inclinação é negativa. Portanto nós temos aqui todas as soluções.