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Cálculo Avançado AB 2015 2a

Áreas entre curvas.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Sejam f e g funções definidas por f(x) igual a 1 mais x mais e elevado a (x² menos 2x) e g(x) igual a x⁴ menos 6,5 vezes x² mais 6 vezes x mais 2. Sejam R e S duas regiões definidas pelos gráficos de f e g apresentadas na figura acima. A primeira coisa que a questão está pedindo é para determinar soma das áreas das regiões R e S. Nós temos duas curvas, que são as representações gráficas dessas duas funções. Essas duas curvas formam essas duas regiões aqui, R e S. O nosso objetivo é determinar a área dessas duas regiões. Uma forma de determinar a área dessas duas regiões seria integrando essas duas curvas e calculando a diferença entre essas duas integrais. No entanto nós devemos calcular o módulo dessa diferença, já que a área sempre tem um valor absoluto, um valor positivo. Então independentemente da função que a gente fizer a diferença e determinar o valor absoluto dessa diferença nós vamos conseguir estar determinando essa área. Então vamos lá. A área formada pela região R mais S é igual à integral definida... E quais serão os nossos intervalos de integração? A gente tem essas duas curvas aqui sendo definidas desde o ponto x igual a zero até o ponto x igual a 2, então a nossa integral definida vai de zero a 2. Esses são os limites da nossa integração, do valor absoluto da diferença entre as duas funções. Então a gente vai ter f(x) menos g(x). Como eu disse não importa quem você coloque primeiro, já que nós estamos determinando o valor absoluto dessa diferença, então não importa se o resultado der positivo ou negativo, o valor absoluto sempre será positivo, dx. Então essa área vai ser igual à integral da diferença entre essas duas funções, Então podemos fazer isso aqui. Essa área vai ser igual à integral de zero a 2 do valor absoluto de f, que nesse caso é 1, mais x mais e elevado a (x² menos 2x) menos g(x), então nós teremos aqui -x⁴ mais 6,5x² menos 6x menos 2 dx. Calcular essa integral definida dá um pouco de trabalho, mas por sorte nessa parte do exame você poderia utilizar a calculadora gráfica. E é isso que nós vamos fazer. Então vamos introduzir essa função aqui na minha calculadora. Vamos ligar a calculadora e colocar toda essa expressão aqui dentro. Então vamos tomar um valor absoluto de 1 mais x mais e elevado a (x² menos 2x), fecho parênteses, -x⁴ mais 6,5 vezes x² menos 6x menos 2, então a gente fecha o parênteses do valor absoluto e assim a gente pode avaliar nossa integral. Então vamos aqui para a matemática para definir a função integral. A gente clica sobre essa função aqui e nós vamos ter a variável y e a variável y é a função que a gente acabou de definir. Então vamos selecionar y. Nossa variável de integração é x, e os nossos limites de integração são esses em que a gente vai de zero até 2. Agora deixamos a calculadora fazer o restante. Ela está levando tempo para calcular, então dê esse tempinho a ela e espere. Nós temos algo muito próximo de 2,00, ou seja, 2,004, então essa integral aqui tem um valor aproximadamente igual a 2,004.