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Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 9
Lição 1: Definição e derivação de equações paramétricasDerivação de equações paramétricas
Neste vídeo, calculamos a derivada da função definida pelas equações paramétricas x=sen(1+3t) e y=2t³, e a calculamos para t=-⅓.
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - Aqui, nós temos
equações paramétricas que dá essa curva interessante aqui. x = 2sen(1 + 3t),
y = 2t³. Você substitui valores em "t"
e acha os valores de "x" e "y" em cada ponto dessa curva. Agora, o que queremos saber
é derivada de "y" em relação ao "x" em um determinado ponto. Ou seja, quando "t" vale -1/3, ou seja, a inclinação dessa curva
em determinado ponto. Ora, como é que nós podemos fazer isso? Nós sabemos que podemos fazer dy/dx como sendo igual a dy/dt sobre dx/dt. Ora, quem é nosso dy/dt? Nosso dy/dt vai ser a derivada
dessa função em relação a "t". Portanto vai ser 3 vezes 2, 6t². E quem vai ser nosso dx/dt? Nosso dx/dt vai ser
a derivada dessa função e vamos utilizar a regra da cadeia. Ou seja, vai ser 2cos(1 + 3t) vezes a derivada que está aqui dentro,
que vai ser igual a 3. Ou 2 vezes 3, 6, cosseno de 1 mais 3t. E assim nós conseguimos achar
a derivada de "y" em relação a "x", ou seja, vai ser 6t²
dividido por 6cos(1 + 3t). Podemos simplificar 6 com 6
e temos t² sobre cosseno de 1 mais 3t. Ele quer saber a inclinação dy/dx no ponto onde "t" vale -1/3. Nós temos -1/3² que vai dar
1/9, dividido por -1/3 vezes 3 dá -1, mais 1, vai dar zero. Cosseno de zero é 1. Portanto, a inclinação
da nossa reta é 1/9. Como poderíamos plotar essa reta? Nós podemos fazer uma pequena tabela
onde nós temos aqui o "t", nós temos o "x" e temos o "y". Quando "t" vale -1/3, nosso "x" vai valer
-1/3 vezes 3, dá -1, -1 mais 1 dá zero
e seno de zero é zero. Então "x" vale zero
e "y" vai valer (-1/3)³ vai ficar -1/27,
vezes 2 dá -2/27. Portanto, ele passa no ponto (- 2/27)
quando é "y" e "x" for zero, ou seja, um ponto por aqui assim. E como a inclinação dessa curva é 1/9, se andarmos 4 para direita, ele sobe aproximadamente 1/2. Portando, 1, 2, 3, 4, e meio. E se acharmos 4 para a esquerda,
ele desce 1/2. Então 1, 2, 3, 4 e meio, então vai ser uma reta que passa
mais ou menos nesses dois pontos. E aqui nós temos a tangente da curva onde a inclinação é 1/9. Ou seja, nós achamos a inclinação
de "y" em relação a "x" onde essa inclinação depende do tempo apenas porque nesse ponto ele é definido
tanto o "x", quanto o "y", pelo tempo. Mas inclinação da reta é a derivada
de "y" em relação a "x".