Comprimento do arco de uma curva paramétrica

RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos estudar o comprimento do arco de uma curva paramétrica. Vamos dizer que nós vamos traçar uma curva onde a coordenada "x" e a coordenada "y" são funções de um terceiro parâmetro "t". Então, podemos escrever "x", ou seja, "x" é uma função de "t" e o "y" também. E claro, se você não lembra disso, eu sugiro que dê uma pesquisada nos vídeos de equações paramétricas da Khan Academy antes de prosseguir. OK, vamos pensar em algo geral aqui a respeito dessas curvas paramétricas. Vamos dizer que aqui nós temos o nosso eixo e vamos calcular o comprimento de uma curva que começa em t = a, portanto este ponto vai ser o (x(a), y(a)), indo até t = b, e este vai ser o ponto (x(b), y(b)). O que queremos saber é o comprimento desta curva. Para descobrir isso, vamos pensar no que acontece com mudanças bem pequenas em "t". E, para representar essa mudança, eu posso colocar um ponto aqui e digamos que vamos andar até este outro ponto. Isso representa uma mudança pequena em "t". Mas, claro, uma mudança bem menor do que esta. Eu só coloquei um pouco mais afastado senão você não ia ver a diferença, mas é uma mudança bem pequena mesmo aqui. Mas o que queremos é encontrar este comprimento. Mas, de qualquer forma, vamos calcular esse comprimento. Nós podemos decompor isto nas direções "x" e "y". Na direção "x", nós vamos ter uma mudança bem pequena, que eu posso chamar de dx. Isto vai ser igual à mudança de "x" em relação a "t", vezes a mudança em "t". Isso nada mais é do que uma mudança bem pequena. É a noção de "derivada". E dx/dt é a mesma coisa que a derivada em "t" vezes dt. Na mudança de "y", nós vamos ter a mesma ideia, ou seja, uma mudança bem pequena em relação a "y", que podemos chamar de dy. Isso vai ser igual à derivada de "y" em relação a "t" vezes dt, que é igual à derivada de "y" em "t" dt. Com isso em mente, como podemos calcular este comprimento? Basicamente, podemos utilizar o teorema de Pitágoras. Ou seja, isto vai ser igual à raiz quadrada dx² + dy². E isto vai ser igual à derivada de "x" em "t" vezes dt, ao quadrado, mais a derivada de "y" em "t" vezes dt, ao quadrado. Será que podemos simplificar isto um pouco mais? Lembre-se: este aqui é um comprimento muito pequeno. É um comprimento infinitesimal. E nós podemos fatorar o dt². Reescrevendo isso, colocando aqui a raiz, eu vou fatorar esse dt² e aí vamos ficar com: (dt)², que multiplica (x'(t))², mais (y'(t))². Claro, o dt² está multiplicando toda esta expressão. E como esse dt² está dentro do radicando, nós podemos tirá-lo para fora da raiz. E aí vamos ficar com a raiz quadrada de (x'(t))², mais (y'(t))². E claro, o dt está aqui fora, mas eu posso colocá-lo para este lado aqui. Isto aqui é este comprimento, que é bem pequeno. Mas, para nossa sorte, no cálculo existem algumas ferramentas na qual nós podemos somar essas mudanças infinitesimais pequenas. E uma dessas ferramentas é a integral definida por dois pontos. Ou seja, nós podemos somar este comprimento com este comprimento, com este, com este... São mudanças bem pequenas e que podem ser somadas com uma integral em relação a "t". E claro, os limites de integração dessa integral vão ser t = a e t = b, de t = a até t = b. Esta é a fórmula de comprimento de arco de uma curva paramétrica. E nos próximos vídeos nós vamos usá-la para resolver alguns exercícios. Eu espero que esta aula tenha te ajudado e até a próxima, pessoal!