Derivadas de segunda ordem (funções vetoriais)

RKA7MP - Eu tenho um vetor de função valorizada aqui. E quando eu digo valor vetorial, significa que você me dá um "t", é uma definição de "t". E eu não vou apenas dar-lhe um número, eu vou lhe dar um vetor. E como veremos, você terá um vetor bidimensional. Você pode ver isto como o componente "x" do vetor e o componente "y" do vetor. E você, provavelmente, está familiarizado agora que há várias anotações para o mesmo vetor bidimensional. Por exemplo, você pode usar o que, muitas vezes, é visto como notação de engenharia, onde o componente "x" está sendo multiplicado pelo vetor da unidade horizontal. Então, você pode ver algo assim, onde é o vetor da unidade, mais o componente "y". 4⁴, mais 2t, mais 1, é multiplicado pelo vetor unitário vertical. Ambos representam a mesma coisa, apenas uma notação diferente. E, às vezes, você verá funções valorizadas de vetores com uma flecha no topo para tornar explícito que esta é uma função de valor vetorial. Às vezes, você apenas vai ouvir as pessoas dizerem, seja "h" o vetor de uma função valorizada, e eles podem não escrever esta flecha no topo. Agora que temos isto fora do caminho, o que nos interessa é encontrar a primeira e a segunda derivada de "h" em relação a "t". Vamos tomar a primeira derivada, h'(t). E como você verá, na verdade, é bastante direto. Você vai apenas tornar os respectivos componentes, tome as derivada dos respectivos componentes em relação a "t". Assim, componente "x" em relação a "t" se você tomasse a derivada em relação a "t", o que você conseguiria? Vamos usar a regra da potência. 5 vezes 1 negativo, você vai ficar -5, vezes até o 5, menos 1 potência, -5 vezes t⁴. Vai ficar -5 vezes t⁴. A derivada em relação a "t" de -6. Isso é apenas zero, Esta é a taxa de mudança do componente "x" em relação a "t". Agora, vamos para o componente "y". Vamos fazer o mesmo. A derivada em relação a "t" vai ser, e, mais uma vez, nós vamos apenas usar a regra da potência. 4 vezes 4 é 16t³, a derivada de 2t é apenas 2. Depois, a derivada de uma constante, isto é zero, como nós já vimos. Então, você tem isto. Portanto, esta é a taxa de mudança do componente "x" em relação a "t". Esta é a taxa de mudança do componente "y" em relação a "t". E uma maneira de fazê-lo é representar os vetores de muitas formas diferentes. Mas um vetor bidimensional como este vai ser h(t), sendo um vetor de posição em duas dimensões. E se você estiver olhando a taxa de mudança de posição em relação ao tempo, este seria o vetor de velocidade. E se tomássemos a derivada disto em relação ao tempo, nós vamos conseguir o vetor de aceleração. O que vai ser h'(t)? Nós apenas aplicamos a regra da potência novamente. 4 vezes -5 é igual a -20t, para os 4 menos 1. Então, t³. E temos 3 vezes 16, que é 48t². A derivada de 2 é a apenas zero. Você tem isto. Se você visualizar "t" ao decorrer do tempo, para qualquer momento, você pode, com isso, dar a posição, a velocidade e a aceleração. É importante perceber que estes vetores poderiam representar qualquer coisa de natureza bidimensional.