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Transcrição de vídeo

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquele Academy Brasil e nesse vídeo vamos conversar sobre a derivada de funções polares para conversar sobre isso vamos observar esse gráfico aqui Dr = Seno de dois teto em coordenadas polares se você estiver achando isso estranho ou não lembrar o que é isso eu aconselho Que você realiza uma revisão sobre isso assistindo uma aula sobre coordenadas polares ou até mesmo olhando aqui em nossa seção de pré-cálculo mas mesmo assim eu vou te dar um pouco de base aqui sobre isso tudo bem então vamos tentar aqui nos familiarizar porque esse gráfico tem esse formato o que estamos fazendo para qualquer ponto aqui é a Claro a gente poderia especificar esses pontos em termos das coordenadas x e y mas também podemos especificar isso em termos um ângulo e um raio por exemplo eu queria alguma coordenada x e y mas também podemos traçar isso partindo da origem e aí a gente vê se fica um ângulo teto e um raio R ou seja uma distância do ponto até a origem e só para a gente se familiarizar com essa curva vamos ver porque isso intuitivo quando até t0r vai ser igual a seno de duas vezes zero ou seja estamos com RNA origem aí a medida que tenta ficar maior nosso R vai ficar maior até a gente começar a atrasar isso aqui que você parece com a pétala de uma flor de um trevo tal veio poderíamos ficar fazendo isso até o fim mas o que acontece quando o teto é igual a pi sobre 4 quando o teto fica igual a pi sobre 4 oceano de duas vezes pi sobre 4 é o seno de pi sobre 2 que é igual a um então é rei igual a um nesse ponto chegamos a uma espécie Dr máximo aí a medida que tenta aumenta mais a pensar novamente a diminuir e vai ficando cada vez menor agora vamos fazer isso aqui em um contexto de cálculo e a primeira pergunta a fazer é como nós precisamos a taxa de variação Dr em relação atleta para os esse vídeo e veja se você consegue descobrir isso E aí fez não porque a gente vai fazer isso juntos aqui agora o que é R linha de tetra bem não é nada de novo aqui você só tem uma variável em função da outra sendo assim basta utilizar a regra da cadeia pega a derivada dessa função externa em relação ao que está dentro ou seja a derivada de dois teto em relação a dois tenta que vai ser igual ao cosseno de 2pi reta E aí multiplica isso com a derivada da função interna em relação atleta ou seja derivada de dois teto em relação até tá aqui nesse caso é apenas dois aí podemos colocar apenas 12 aqui na frente desse cosseno Sé É bem interessante mas vamos ver se a gente consegue expressar essa curva aqui em termos de x e y Então pensa sobre essas derivadas fazendo uma revisão de pré-cálculo quando você quer sair daqui todo mundo por lá ir para o mundo que eu acho que você pode chamar de retangular você tem que se lembrar da transformação onde y = r sendo detecta e x = r cosseno de teta agora apenas com uma revisão aqui é muito rápido é porque isso faz sentido Vamos pegar uma dessas condenações de ângulo com R bem aqui ou seja vamos dizer que isso é reta e o CR bem a altura aqui desse lado vai ser o y e o comprimento aqui desse lado vai ser um x a gente sabe da trigonometria da nossa definição do circulo trigonométrico que o seno de teto É igual ao cateto oposto sobre hipotenusa ou seja nesse caso teremos Y sobre a Ea hipotenusa também sabemos que o cosseno de teto É igual ao cateto adjacente ou seja x sobre a hipotenusa que nesse caso é R aí você tem apenas que multiplicar os dois lados aqui por R para chegar ao que temos ali Ah se eu tiver indo muito rápido não se esqueça que essa daqui apenas uma pequena revisão sobre coordenadas polares e que você encontra isso aqui em uma aula completa de pré-cálculo agora podemos usar isso para expressar puramente em termos de reta e como fazemos isso bem sabemos que é rei igual ao seno de dois tetos certo então você só precisa substituir esses erres aqui pelo seno de 2 peças sendo assim Y = oceano de dois tenta vezes o seno de teta e x vai ser igual ao seno de dois tentos Às vezes o cosseno de Tenta agora podemos utilizar essas expressões para encontrar a taxa de variação de y e de X em relação a meta sabendo disso pau desse vídeo encontro uma expressão geral para isso E aí conseguiu senão não tem problema vamos fazer isso juntos agora bem mais uma vez Vamos apenas usar as nossas técnicas de derivadas aqui eu posso escrever então Y linha direta ou seja derivada de y em relação atleta E aí é usa a regra do produto aqui nós vamos ter a derivada da primeira expressão que é dois cosseno de duas pétalas a já vimos isso antes eu só que está saindo da regra da cadeia aí seguindo a regra do produto multiplicamos isso pela segunda expressão ou seja pelo seno de teta aí sua mamos isso com a primeira expressão que é o seno de dois tenta vezes a derivada da segunda expressão a derivada do seno de teta e nesse caso é o cosseno de Tenta agora podemos fazer a mesma coisa para x sendo assim temos que x linha de O que é igual a a derivada da primeira expressão que vai ser duas vezes o cosseno de duas retas vezes a segunda expressão o cosseno de teta mas a primeira expressão oceano de duas pétalas vezes a derivada da segunda expressão que nesse caso é meu nos o seno de teta bem a gente pode colocar o sinal de negativo na frente assim fica melhor agora podemos utilizar isso para variar alguns pontos por exemplo podemos dizer o que está acontecendo quando o teto é igual a pi sobre 4 bem vamos fazer isso aqui quando o tep sobre quatro eu vou fazer isso em preto aqui no gráfico nós estaremos nesse ponto aqui bem vamos avaliar isso então vamos calcular aqui Y linha de pi sobre 4 isso é igual a vejamos Isso vai ser igual a dois cosseno de pi sobre 2 Afinal duas vezes pi sobre 4 é e fala sobre 2 vezes o seno de pi sobre 4 mais o seno de 2pi sobre quatro que é o seno de pi sobre 2 x o cosseno de pi sobre 4 Isso vai ser igual ao que bem o cosseno de pi sobre 2 é zero Então se isso é zero tudo isso aqui vai ser zero aqui temos o seno de pi sobre 2 que é um vezes o cosseno de pi sobre 4 e a raiz quadrada de 2 sobre 2 então isso aqui vai ser igual à raiz quadrada de 2 sobre 2 bem Podemos fazer o mesmo exercício aqui com x podemos dizer que x linha de pi sobre 4 = aqui vamos ter duas vezes o cosseno de duas vezes pi sobre 4 então isso será duas vezes o cosseno de pi sobre 2 essa primeira parte aqui vai ter a mesma aparência Então esse primeiro termo será zero aí teremos isso menos fala sobre 2x o seno de pi sobre 4 Isso aqui vai ser apenas um e isso vai ser igual à raiz quadrada de 2 sobre 2 também então temos aqui menos a raiz quadrada de 2 sobre 2 agora vamos ver porque isso faz sentido Vamos pensar sobre o que acontece à medida que teto aumento aqui se você aumentar o teto um pouco acima de pi sobre 4 se você aumentar só um pouquinho sua coordenada a y continua aumentando Então faz sentido que você tem uma inclinação positiva aqui mas o que acontece com a coordenada x conforme teto aumenta um pouco bem a coordenada x começa a diminuir quando o teto aumenta então é por isso que faz sentido que você tem uma taxa de variação negativa bem aqui agora a próxima pergunta que você pode fazer é sobre a taxa de variação de y em relação a x Como podemos encontrar isso afinal eu quero descobrir a inclinação da reta tangente bem ali e parece que tem uma inclinação nem é mas como podemos realmente calcular isso bem uma forma de pensar sobre isso é calcular a derivada de y em relação a x e isso vai ser igual a derivada de y em relação atleta sobre a derivada de x em relação atleta e vamos fazer isso em teto igual a e sobre quatro bem Já temos esses valores calculados então teremos aqui é a raiz quadrada positiva de 2 sobre 2 sobre a raiz quadrada negativa de 2 sobre 2 resolvendo isso temos que tudo isso = -1 o que faz sentido isso realmente se parece com uma reta tangente que tem uma inclinação negativa então isso resume tudo e talvez agora você esteja um pouco mais confortável ao realizar uma revisão sobre coordenadas polares e também por ter aprendido algo novo sobre derivadas desse tipo de coordenadas Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui E mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima
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