Derivadas de funções polares

RKA8JV - Olá, meu amigo minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a derivada de funções polares. Para conversar sobre isso, vamos observar este gráfico aqui de "r = sen(2θ)" em coordenadas polares. Se você estiver achando isso estranho ou não lembrar o que é isso, eu aconselho que você realize uma revisão sobre isso assistindo uma aula sobre coordenadas polares ou até mesmo olhando aqui em nossa seção de pré-cálculo. Mas mesmo assim, eu vou de dar um pouco de base aqui sobre isso, tudo bem? Então, vamos tentar aqui nos familiarizar por que esse gráfico tem este formato. O que estamos fazendo para qualquer ponto aqui é, claro, a gente poderia especificar esses pontos em termos das coordenadas "x" e "y", mas também podemos especificar isso em termos de um ângulo e um raio. Por exemplo, isso aqui teria alguma coordenada "x" e "y", mas também podemos traçar isso partindo da origem e aí a gente especifica um ângulo θ e um raio "r". Ou seja, uma distância do ponto até a origem. E só para a gente se familiarizar com esta curva, vamos ver por que isso intuitivo. Quando θ é zero, "r" vai ser igual a seno de 2 vezes zero, ou seja, estamos com "r" na origem. Aí, a medida que θ ficar maior, nosso "r" vai ficar maior, até a gente começar a a traçar isso aqui que se parece com a pétala de uma flor, de um trevo talvez. Poderíamos ficar fazendo isso até o fim. Mas o que acontece quando o θ = π/4? Quando θ fica igual a π/4, o sen(2π/4) é o sen(π/2), que é igual a 1. Então "r = 1". Nesse ponto, chegamos a uma espécie de "r" máximo, aí, a medida que θ aumenta mais, "r" vai começar novamente a diminuir e vai ficando cada vez menor. Agora, vamos fazer isso aqui em um contexto de cálculo. A primeira pergunta a fazer é: como nós precisamos a taxa de variação de "r" em relação a θ? Pause este vídeo e veja se você consegue descobrir isso. E aí, fez? Não? Ok, a gente vai fazer isso juntos aqui agora. O que é r'(θ)? Bem, não há nada de novo aqui. Você só tem uma variável em função da outra, sendo assim, basta utilizar a regra da cadeia. Pegue a derivada dessa função externa em relação ao que está dentro, ou seja, a derivada de 2θ em relação a 2θ, que vai ser igual ao cos(2θ), e aí multiplique isso com a derivada da função interna em relação a θ, ou seja, a derivada de 2θ em relação a θ, que, neste caso, é apenas 2. Aí podemos colocar apenas um 2 aqui na frente deste cosseno. Certo, isso foi bem interessante, mas vamos ver se a gente consegue expressar esta curva aqui em termos de "x" e "y". Então pense sobre essas derivadas. Fazendo uma revisão de pré-cálculo, quando você quer sair daqui do mundo polar ir para o mundo, que eu acho que você pode chamar de retangular, você tem que se lembrar da transformação, onde "y = rsen(θ) e "x = rcos(θ)". Agora, apenas como uma revisão muito rápida, por que isso faz sentido? Vamos pegar uma dessas combinações de ângulo com "r" bem aqui. Ou seja, vamos dizer que isto é θ e isso é "r". Bem, a altura aqui desse lado vai ser o "y", e o comprimento aqui deste lado vai ser o "x". A gente sabe da trigonometria da nossa definição, do círculo trigonométrico, que o sen(θ) é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa, ou seja, neste caso, teremos y/r, que é a hipotenusa. Também sabemos que o cos(θ) é igual ao cateto adjacente, ou seja, "x", sobre a hipotenusa, que, neste caso, é "r". Aí você tem apenas que multiplicar os dois lados aqui por "r" para chegar ao que temos ali. Ah, se eu estiver indo muito rápido, não se esqueça que esta aqui é apenas uma pequena revisão sobre coordenadas polares, e que você encontra isso aqui em uma aula completa de pré-cálculo. Agora, podemos usar isso para expressar puramente em termos de θ. E como fazemos isso? Bem, sabemos que é "r = sen(2θ)" certo? Então, você só precisa substituir esses "r" aqui pelo sen(2θ). Sendo assim, "y = sen(2θ) vezes o sen(θ), e "x" vai ser igual ao sen(2θ) vezes o cos(θ). Agora, podemos utilizar essas expressões para encontrar a taxa de variação de "y" e de "x" em relação a θ. Sabendo disso, pause este vídeo e encontre uma expressão geral para isso. E aí, conseguiu? Se não, não tem problema, vamos fazer isso juntos agora. Bem, mais uma vez, vamos apenas usar as nossas técnicas de derivadas aqui. Eu posso escrever então y'(θ), ou seja, derivada de "y" em relação θ, e aí eu uso a regra do produto aqui. Nós vamos ter a derivada da primeira expressão, que é 2cos(2θ), ah, já vimos isso antes, isto aqui está saindo da regra da cadeia. Aí, seguindo a regra do produto, multiplicamos isso pela segunda expressão, ou seja, pelo sen(θ). Aí somamos isso com a primeira expressão, que é o sen(2θ), vezes a derivada da segunda expressão, derivada do sen(θ), que neste caso é o cos(θ). Agora podemos fazer a mesma coisa para "x". Sendo assim, temos que x'(θ) é igual à derivada da primeira expressão, que vai ser 2 vezes o cos(2θ), vezes a segunda expressão, o cos(θ), mais a primeira expressão, o sen(2θ), vezes a derivada da segunda expressão, que, neste caso, é -sen(θ). Bem, a gente pode colocar o sinal de negativo na frente, assim fica melhor. Agora, podemos utilizar isso para avaliar alguns pontos. Por exemplo, podemos dizer o que está acontecendo quando θ = π/4? Bem, vamos fazer isso aqui. Quando θ é π/4, eu vou fazer isso em preto aqui no gráfico, nós estaremos neste ponto aqui. Bem, vamos avaliar isso. Então vamos calcular y'(π/4). Isso é igual a, vejamos, isso vai ser igual a 2cos(π/2), afinal, 2 vezes π/4 = π/2, vezes o sen(π/4) + sen(2π/4), que é o sen(π/2), vezes o cos(π/4). Isso vai ser igual a quê? Bem, o cos(π/2) é zero. Então, se isso é zero, tudo isso aqui vai ser zero. Aqui, temos o sen(π/2), que é 1, vezes o cos(π/4), que é √2/2. Então, isso aqui vai ser igual a √2/2. Bem, podemos fazer o mesmo exercício aqui com o "x". Podemos dizer que x'(π/4) é igual a, aqui vamos ter 2 vezes o cos(2π/4), então, isso será duas vezes o cos(2π/2). Esta primeira parte aqui vai ter a mesma aparência, então, este primeiro termo será zero, aí teremos isso menos o sen(π/2) vezes o sen(π/4). Isso aqui vai ser apenas 1, e isso vai ser igual a √2/2 também, então, temos -√2/2. Agora, vamos ver por que isso faz sentido. Vamos pensar sobre o que acontece à medida que θ aumenta aqui. Se você aumentar o θ um pouco acima de π/4, se você aumentar só um pouquinho, sua coordenada "y" continua aumentando, então, faz sentido que você tenha uma inclinação positiva aqui. Mas o que acontece com a coordenada "x" conforme θ aumenta um pouco? Bem, a coordenada "x" começa a diminuir quando θ aumenta, então, é por isso que faz sentido que você tenha uma taxa de variação negativa bem aqui. Agora, a próxima pergunta que você pode fazer é sobre a taxa de variação de "y" em relação a "x". Como podemos encontrar isso? Afinal, eu quero descobrir a inclinação da reta tangente bem ali, e parece que tem uma inclinação negativa. Mas como podemos realmente calcular isso? Bem, uma forma de pensar sobre isso é calcular a derivada de "y" em relação a "x", e isso vai ser igual a derivada de "y" em relação θ sobre a derivada de "x" em relação θ. Vamos fazer isso em θ = π/4. Bem, já temos esses valores calculados, então, teremos √2/2 sobre -√2/2. Resolvendo isso, temos que tudo isso é igual a -1, o que faz sentido. Isso realmente se parece com uma reta tangente, que tem uma inclinação negativa. Então, isso resume tudo, e talvez agora você esteja um pouco mais confortável ao realizar uma revisão sobre coordenadas polares e também por ter aprendido algo novo sobre derivadas desse tipo de coordenadas. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui, e mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!