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Transcrição de vídeo

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daqui na casa de me Brasil e nesse vídeo vamos resolver um exemplo sobre derivadas com coordenadas polares esse exemplo diz o seguinte seja a função dada por RD tetra = 3 tenta sendo de tenta definida no intervalo em que até até maior ou igual a zero e menor ou igual a 2 PIS o gráfico Dr em coordenadas polares consiste em dois looks como mostrado na figura acima então vamos pensar porque ele tem dois looks observando aqui quando o teto É zero é rezero então conforme nosso teto aumenta começamos a traçar esse primeiro loop percorrendo todo o caminho até tá ser igual ap então nós traçamos esse primeiro look aqui que vai de teto igual a zero até igual a Bia aí o segundo look tem um raio maior em o Sr são maiores quando estamos indo de pia até duas pias e aí você pode dizer o seguinte bem porque isso está assim entre o seno de piu sendo de 2pi essa parte bem aqui vai ser negativa Então ela vira que para esse lado e a magnitude Dr é maior e maior por causa desse três tem até aqui então quando vamos de piratel 2 pias nós rastreamos o círculo maior pega isso parece ser bem simples mas vamos continuar lendo aqui o ponto P está no gráfico Dr e no eixo Y é encontra a taxa de variação da coordenada X em relação até tá no ponto P Ok vamos pensar sobre isso um pouco o problema nos fornece é em função de tetra e Através disso podemos encontrar o que o problema está pedindo que é a taxa de variação da coordenada X em relação atleta fazendo uma revisão sobre coordenadas polares se esse é o nosso peta esse é o nosso R isso seria um ponto é Nossa E aí se tenta agora como você converte isso aqui em x e y bem você pode construir um triângulo retângulo aqui e sabemos através da nossa trigonometria básica que eu comprimento dessa base aqui vai ser a hipotenusa vezes o cosseno de teta Então vamos escrever isso a nossa base vai ser a nossa a coordenada x afinal vamos estar no eixo X é então a coordenada x vai ser igual a hipotenusa QR vezes o cosseno de teta se a gente quiser se a coordenada A Y como uma função de R e Pateta teríamos que y = r sendo direta Mas o problema não pediu isso então não vamos nos preocupar com isso agora Então temos que XR equação de teto mas nós queremos X puramente em termos de teto então como fazemos isso bem o que podemos fazer é pegar essa expressão aqui para r o próprio R é uma função de tetra e é do INSS R da coordenada x assim podemos escrever X em termos de PETA e isso vai ser igual a r que é três teto sendo detecta vezes o cosseno de teta o que queremos agora encontrar a taxa de variação da coordenada X em relação até tá em um ponto para isso vamos apenas calcular a derivada de x em relação a reta portanto x linha de teto é igual a bem eu tenho um produto de três expressões aqui eu tenho essa primeira expressão três pétalas aí eu tenho oceano de tetra e também tem o cosseno de teta para resolver isso a gente pode aplicar a regra do produto se você quiser usar a regra do produto como a expressão que tem três coisas você vai basicamente utilizar o mesmo padrão que você usou quando o produto tinha apenas duas coisas então vamos fazer isso aqui agora a gente vai ter aqui no primeiro termo sendo igual a derivada da primeira das três expressões e as outras duas expressões Então vamos ter aqui três vezes oceano de teto Às vezes o cosseno de Tenta mas a derivada que da expressão do Meio vezes as outras duas expressões Então vamos ter aqui três teto às vezes bem a derivada do seno de teto é o cosseno de teta aí a gente é multiplica isso aqui como cosseno de teta também então vamos ter aqui o cosseno ao quadrado de tenta ou cosseno de teto Ah o quadrado agora somamos isso com a derivada do último termo que vai ser a derivada do Cosseno de teto ah vezes as outras duas expressões bem a derivada do Cosseno de terra até oceano negativo detecta se você multiplicar os e no negativo de teto com 3 tethas sendo reta você vai ter aqui menos três vezes tenta vezes o seno ao quadrado de teto bem essa parte aqui já foi Mas queremos avaliar isso aqui no ponto P Então qual é o valor de tétano. P é bem o ponto o que acontece em nossa primeira passagem e assim no ponto P tenhamos arquiteta sendo igual up sobre dois aí nós realmente só precisamos encontrar x linha de pi sobre 2 bem isso mesmo então vamos fazer isso aqui agora isso vai ser igual a três vezes o seno de pi sobre 2 que é um vezes o cosseno de pi sobre 2 que é zero Então tudo isso é zero mais três vezes e sobre dois isso é 3pi sobre 2 vezes o cosseno ao quadrado de piso L2 ou cosseno de pi sobre 2 ao quadrado bem o seu apenas 10 também então até agora tudo isso é zero aí isso menos três vezes o pi sobre 2 que é menos 3pi sobre 2 vezes o seno de pi sobre 2 ao quadrado bem quanto é o seno de pi sobre 2 isso é um E aí ao elevarem só o quadrado ainda teremos um Então tudo isso simplificado fica apenas igual a menos é sobre dois agora é sempre bom conferir se o que a gente fez aqui faz sentido ou seja de que a taxa de variação de X em relação atleta é realmente - 3 pi sobre 2 Vamos pensar no que está acontecendo aqui a medida que teto aumenta um pouco o x definitivamente vai diminuir Então faz sentido ter um negativo aqui bem aqui a taxa de variação de X em relação atleta é menos 3 pi sobre 2 sendo assim à medida que até tá aumenta o nosso x com certeza vai estar diminuindo Então pelo menos isso faz sentido de forma intuitiva bem Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que vimos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima
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