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Área delimitada por curvas polares

Desenvolva uma intuição sobre a área delimitada pela fórmula do gráfico polar.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Agora, nós temos bastante experiência achando as áreas das curvas quando lidamos com as coisas em coordenadas retangulares. Então, nós vimos, pela soma de Riemann, um monte de retângulos. Se nós pegarmos o limite como se tivesse um número infinito de retângulos finos, nós podemos achar a área. Agora, nós vamos para as coordenadas polares. Nas coordenadas polares, eu não vou dizer que estamos achando a área sobre a curva. Mas, neste exemplo aqui, nós temos uma parte do gráfico onde R = f(θ). E nós desenhamos entre θ = α e θ = β. E o que eu quero fazer, neste vídeo, é trazer uma expressão geral para esta área que eu estou pintando de azul. Então, eu acho que posso dizer que esta área aqui é delimitada por estes ângulos e o gráfico de R = f(θ). E o que eu quero trazer, ou ao menos tentar trazer a vocês, é uma expressão. Mas vou dar umas dicas aqui. Quando fizemos em coordenadas retangulares, nós dividimos em retângulos. E aqui retângulos não parecem tão óbvios, porque todos vão convergir para o mesmo ponto. Mas, e se nós pudéssemos dividir estas coisas em setores? Ou, como posso dizer, imagine pequenos pedaços de torta. E se nós dividíssemos em pequenos pedaços de torta? Eu vou desenhar aqui para que você possa visualizar. Mas, pense, o que aconteceria se pudéssemos dividir isto em uma grande série de pequenos pedaços de torta? Então, pegar o limite como se tivéssemos infinitos pedaços de torta. Queremos achar a área de cada um destes pedaços, então pegar o limite como pedaços de torta. Eu acho que você pode dizer que se torna infinitamente fino. E temos um número infinito deles. Agora, eu vou te dar mais uma dica para pensar sobre a área desta torta. Quer dizer, eu acho que você pode dizer que é a área destes pedaços de torta. Enfim, eu vou te dar mais uma dica. Então, se você tiver um círculo, se você tiver um círculo. Espere um pouco, deixe-me acabar de desenhar, que eu já continuo falando. Ok! Então, se temos um círculo de raio "r" e agora eu vou desenhar um setor bem aqui. E isso, obviamente, também é "r". E se eu disser que este ângulo aqui é θ, então qual será a área deste setor que eu estou pintando agora? Então, esta é a minha dica para você. Pense sobre o que será esta área. E nós estamos assumindo θ em radianos. Então, pense no que será esta área e veja se você consegue ampliar isto para o que estamos tentando fazer aqui. Para entender, de algum modo, usando integração, achando uma expressão para esta área. Então, vamos lá! Vamos pensar um pouco sobre isto. Qual é a área do círculo inteiro? Bom, nós já sabemos isso! É πr² que é a fórmula da área do círculo. Então, qual é a área disto daqui? Bem, isto vai ser uma fração do círculo. Então, se isto daqui é θ, se tivermos 2π radianos, que seria o círculo inteiro, então isso vai ser θ /2π. Então, vai ser πr² vezes θ / 2π. Então, isto vai ser a área do setor circular bem aqui. A área do círculo inteiro vezes a proporção do círculo que nós definimos. Ou seja, o setor circular. Então, se nós cancelarmos o "π" aqui e aqui, vamos ter metade de r² vezes θ. Agora, vamos ver o que acontece se ao invés de θ, nós vamos focar em uma destas coisas aqui que eu desenhei. Deixe-me destacar aqui pintando desta forma. Então, ao invés do ângulo ser θ vamos apenas assumir apenas algo realmente muito, muito pequeno. E vamos usar o diferencial, embora seja um pouco de matemática barata. Mas o importante é você ter o entendimento conceitual. Bom, poderia chamar de Δθ. Então, eventualmente, obter o limite quando se aproxima de zero. Mas, só para propósitos conceituais, quando nós temos mudanças infinitamente ou super pequenas de θ, vamos chamar de dθ. E o raio aqui, ou poderia dizer comprimento, bom, eu acho que você pode ver como um raio, pelo menos considerando o arco neste ponto. Então, o raio ou "r", será "r" em função de θ, que nós estamos vendo aqui. Mas, nós apenas vamos chamar de nosso "r", bem aqui. Então, qual será a área deste pequeno setor? Então, a área deste pequeno setor, ao invés do ângulo ser θ, estou chamando isso de dθ, tem uma pequena diferença. Então, ao invés da metade de r², isto será, deixe-me desenhar aqui de outra cor. Vamos escrever aqui. Então, a área deste pequeno setor vai ser 1/2 r² dθ. Então, ao invés de θ, vai ser dθ, que é um ângulo muito, muito pequeno. Agora, se você quer a soma de todos, de θ = α até θ = β, existe um número infinito deles, porque é um ângulo infinitamente pequeno. Bem, então, para essa área inteira bem aqui, eu poderia apenas integrar tudo isto. Então, isto será a integral do α ao β de 1/2 r² dθ. Como o nosso "r" está em função de θ, podemos reescrever desta forma. A integral de α até β vezes 1/2 r θ² dθ. Só para lembrar que o "r" está em função de θ, neste caso.