Regra da potência reversa

RKA4JL - Vamos pegar a derivada d/dx de x elevado a (n mais 1) dividido por (n mais 1) mais uma constante C. Obviamente para n diferente de -1, pois o denominador sendo igual a zero tornaria essa expressão indefinida. Para derivarmos, o que nós precisamos fazer? Pegamos o expoente, passamos para a frente, multiplicando, (n mais 1) e subtraímos 1 do expoente, ou seja, n mais 1 menos 1. Isso tudo está sendo dividido por (n mais 1) mais a constante que vai se tornar zero, pois na derivada é uma taxa de variação e uma constante não varia, portanto nós temos zero. Como n é diferente de -1, nós podemos simplificar. Nós vamos ter xⁿ. Agora vamos pensar na antiderivada, ou na integral indefinida, de xⁿ dx. Isso aqui nós chamamos de integral indefinida ou antiderivada. Para pegarmos a antiderivada, fazemos a operação inversa, ou seja, nós somamos 1 no expoente, vamos ficar com x elevado a (n mais 1) e dividimos por (n mais 1), sabendo que n tem que ser diferente de -1, e somamos uma constante, uma vez que ao derivarmos, essa constante desapareceu e ao integrarmos, ou fazermos a antiderivada, vai aparecer uma constante. Portanto essa daqui é a essência da antiderivada, ou a integral indefinida de uma variável elevada a um determinado expoente. Portanto, vamos fazer alguns exemplos. Vamos pegar a antiderivada de x⁵ dx. Nós vamos ter x elevado a (5 mais 1), somamos 1 ao expoente, e dividimos por (5 mais 1). E, obviamente, somamos mais uma constante qualquer. Essa constante pode ser π, um milhão, pode ser qualquer valor. Então vamos ter x⁶ /6 mais uma determinada constante. Vamos fazer outo exemplo. Vamos pegar a integral indefinida, ou a antiderivada, de 5 vezes x⁻² dx. Esse símbolo significa uma soma e nós podemos colocar esse 5 para o lado de fora, ou seja, nós temos 5 vezes a integral de x⁻² dx. Fazendo pela nossa regra, nós temos 5 vezes... Vamos somar 1 no expoente, ou seja, -2 mais 1, e dividir por -2 mais 1. E ainda somamos uma constante. Então ficamos com 5 vezes x⁻¹ sobre (-2 mais 1) mais constante qualquer. Nós podemos abrir esse parênteses para ficar com... Aqui é -x⁻¹, vamos ficar com -5 vezes x⁻¹. Você poderia pensar: "Vamos colocar 5 vezes essa constante, mas essa constante é uma constante qualquer”. Então vamos ter, na realidade, uma nova constante que podemos chamar de C'. E com isso achamos antiderivada, que pode ser escrita também como 5/x, pois x⁻¹ é 1/x, mais uma constante qualquer.