If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Integração por substituição com integrais definidas

Realizar a integração por substituição com integrais definidas é muito similar ao que é feito com integrais indefinidas, mas com um passo adicional: considerar os limites de integração. Vamos ver o que isso significa calculando 122x(x2+1)3dx.
Notamos que 2x é a derivada de x2+1, então a integração por substituição se aplica. Seja u=x2+1, então du=2xdx. Agora substituímos:
122x(x2+1)3dx=12(u)3du
Espere um momento! Os limites de integração foram ajustados para x, e não para u. Pense nisso graficamente. Nós queremos a área sob a curva y=2x(x2+1)3 entre x=1 e x=2.
A função y = 2x, abre parênteses, x ao quadrado + 1, fecha parênteses, elevado ao cubo está representada graficamente. O eixo x vai de 0 até 3. O gráfico é uma curva. A curva começa no quadrante 2, move-se para cima, para longe do eixo x, para (2, 500). A região entre a curva e o eixo x, entre x = 1 e x = 2, está em destaque.
Agora que mudamos a curva para y=u3, por que os limites deveriam permanecer os mesmos?
As funções y = 2x, abre parênteses, x ao quadrado +1, fecha parênteses, elevado ao cubo e y = u ao cubo são representadas graficamente, juntas. O gráfico de y = u começa no quadrante 2, move-se para cima, afasta-se do eixo x e termina em aproximadamente (3, 27).
Tanto y=2x(x2+1)3 quanto y=u3 são mostrados no gráfico. É possível ver que as áreas abaixo das curvas entre x=1 e x=2 (ou u=1 e u=2) têm tamanhos muito diferentes.
De fato, os limites não devem permanecer os mesmos. Para encontrar os novos limites, precisamos encontrar quais valores de u correspondem a x2+1 para x=1 e x=2:
  • Limite inferior: (1)2+1=2
  • Limite Superior: (2)2+1=5
Agora podemos realizar corretamente a integração por substituição:
122x(x2+1)3dx=25(u)3du
As funções y = 2x, abre parênteses, x ao quadrado + 1, fecha parênteses, ao cubo e y = u ao cubo são representadas graficamente, juntas. O eixo x vai de 1 negativo até 6. Os gráficos se movem para cima e se afastam do eixo x. A primeira função termina em (2, 500). A região entre a curva e o eixo x, entre x = 1 e x = 2, está em destaque. A segunda função termina em aproximadamente (6, 210). A região entre a curva o eixo x, entre x = 1 e x = 5, está em destaque. As 2 regiões destacadas aparentam ter o mesmo tamanho.
y=u3 é mostrado no gráfico com a área de u=2 a u=5. Agora podemos ver que as áreas sombreadas parecem ser aproximadamente do mesmo tamanho (elas são, na verdade, exatamente do mesmo tamanho, mas é difícil dizer apenas olhando).
A partir daqui, podemos resolver tudo em função de u:
25u3du=[u44]25=544244=152,25
Lembre-se: quando usarmos integração por substituição com integrais definidas, precisamos sempre levar em conta os limites de integração.
Problema 1
Elisa deve encontrar 15(2x+1)(x2+x)3dx. Esta foi sua solução:
Etapa 1: Seja u=x2+x
Etapa 2: du=(2x+1)dx
Etapa 3:
15(2x+1)(x2+x)3dx=15u3du
Etapa 4:
15u3du=[u44]15=544144=156
O trabalho de Elisa está correto? Se não, onde ela errou?
Escolha 1 resposta:

Problema 2
1215x2(x37)4dx=?
Escolha 1 resposta:

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Quer participar da conversa?

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.