Exemplo resolvido: área delimitada pelo cardioide

RKA14C Aqui nós temos uma figura interessante que chama-se cardioide, porque se parece com um coração. O que nós queremos saber é qual é a área (A) contida dentro dessa figura. Nós sabemos que a área nas coordenadas polares que temos vai ser 1/2 da integral do ângulo α até o β do r² vezes dθ. Ele deu o nosso raio em função do cosseno de θ. Ou seja, A = 1/2... Vezes a integral de quê? Ele partiu do ponto zero, deu a volta, e voltou depois de uma volta completa. Ou seja, 2π. Portanto, a integral é de zero até 2π de r². Quem é r²? Vai ser (1 - cosθ)² vezes dθ. Agora vamos abrir aqui. Temos: A = 1/2 ∫ 0 até 2π do quadrado do primeiro menos 2 vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo, vezes dθ. Parece que integral é fácil, mas esta aqui não é tão fácil. Mas podemos aplicar uma propriedade trigonométrica, em que temos: cos² θ = 1/2 (1 + cos 2 θ), em relação ao dobro do arco. Portanto, ficamos com: A = 1/2 ∫ de 0 até 2π de 1 - 2 cos θ mais... Vamos abrir logo os parênteses, fica: 1/2 + 1/2 cos 2θ vezes dθ. Agora podemos integrar, nós temos 1/2 de... Bem, aqui é θ. Este aqui vai ficar: -2 senθ. Aqui, nós temos θ/2. E aqui vai integrar cos 2θ... Vamos fazer sen 2θ. Só que, quando você deriva sen 2θ, dá 2 cos 2θ, portanto, vamos somar 1/4 sen 2θ. Se você derivar isso, volta a ter 1/2 cos 2θ. Isso variando de 0 até 2π. Portanto, nossa área fica sendo igual a... Ora, sen 2π com sen 0 é igual a 0. Aqui também dá 0. Nós temos 1/2 (2π + 2π/2) - 0. Portanto, aqui vamos ficar com: 2π + π = 3π. 3π vezes 1/2... Vamos ficar com a área de 3π/2. E finalizamos!