O método da arruela rotacionando em torno de uma reta horizontal (não o eixo x), parte 2

RKA3JV - No vídeo passado, nós vimos uma figura onde nós tínhamos a área da superfície e a rotacionamos para encontrar o volume entre o raio externo e o raio interno. Neste vídeo, vamos calcular o volume. Para isso, vamos abrir primeiro este polinômio. Neste polinômio nós temos (4 - x² + 2x) elevado ao quadrado. Seria ele multiplicado por ele mesmo. Ou seja, 4 - x² + 2x. Então, temos 4 vezes 4 igual a 16. 4 vezes -x² igual a -4x². 4 vezes 2x igual a 8x, -x² vezes 4 igual a -4x², -x² vezes -x², temos x⁴ -x² vezes 2x vamos ter -2x³. 2x vezes 4 nós temos 8x. 2x vezes - x² nós vamos ter -2x³. 2x vezes 2x nós vamos ter 4x². Agrupando e somando o "x" de expoentes iguais, nós temos x⁴, é o único. x³ nós temos -2x³. temos -2x³ vamos ficar com -4x³. x² temos -4x², -4x² + 4x² somando vamos ficar com -4x². x¹ nós temos 8x + 8x vamos ficar com 16x. E a parcela independente de "x" nós vamos ter 16. Na segunda etapa, nós temos que subtrair deste polinômio. Subtraindo, nós temos o quadrado do primeiro, 16, menos 2 vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. E nós conseguimos, através do produto notável, chegar nesta expressão. Portanto, vamos ter 16 menos 16, vai ser zero. Temos 16x + 8x vamos ficar com 24x. E temos -4x² - x² - 5x² E o resto vamos repetir. -4x³ e x⁴. Com isso, nós abrimos estes dois polinômios que estão dentro das chaves. Então, repetindo, nós temos que o volume vai ser igual à integral de zero a 3. Podemos já colocar este π para fora, uma vez que ele é uma constante. E colocamos o nosso polinômio de x⁴ - 4x³ - 5x² + 24x, isso tudo, dx. Integrando, nós vamos ter, fazendo a antiderivada, nós temos que x⁴, aumentamos 1 no expoente e dividimos por ele. Ou seja, vai ficar x⁵ / 5. - x⁴ / 4 vai ficar só x⁴ -5x³ / 3 + 24x² / 2 dá 12x². Isso no intervalo de zero a 3. Ora, aqui como tem tudo em função de "x", quando colocarmos subtraindo zero, aqui vai ser tudo zero. Portanto, basta calcularmos quando for igual a 3. Então, o nosso volume será igual a π vezes 3⁵, 3¹ igual a 3. 3² = 9. 3³ = 27. 3⁴ = 81. E 3⁵ = 243. Portanto, vamos ter 3⁵ / 5 menos 3⁴ menos 5 vezes 3³ / 3 mais 12 vezes 3². Fazendo essa conta, nós vamos ter que 3⁵ é 243, sobre 5, menos 3⁴ = 81. 3³ / 3 = 3² 3² = 9, vezes 5 dá 45. Mais 12 vezes 9 que vai dar 108. Vamos fazer primeiro esta conta aqui. Vamos ter -81 - 45 = -126. -126 + 108 seria -26 + 8, que vai dar -18. Portanto, essa conta toda dá -18. Então, temos, para colocar no mesmo denominador, vamos ter π vezes 243 / 5, -18 vezes 5, 90 / 5, que vai dar 18. E nós vamos ter, finalmente, o volume, que vai ser π vezes 243 menos 90 vai dar 153. Portanto, 153 / 5.