Método do disco para rotação ao redor de uma reta vertical

RKA14C Vamos fazer um outro exemplo e dessa vez vamos rotacionar a nossa função ao redor de uma linha vertical que não é o eixo y. Se fizermos isso... Vamos girar y = x² - 1, ou pelo menos parte disso. Vamos girar ao redor da linha vertical x = -2, assim, teremos esta forma de bola de chiclete, que parece algo mais ou menos assim. Bem, o que quero fazer neste vídeo é calcular o volume disso utilizando o método do disco. Ou seja, o que eu quero aqui é construir alguns discos. Aqui está um dos discos. Vai ter alguma profundidade, e essa profundidade vai ser dy aqui. Claro que isso tem uma certa área acima do disco, que é uma função de qualquer y que eu tenha. O volume de um dado disco será a área em função de y vezes a profundidade do disco, que é dy. Nós vamos calcular a integral do intervalo que nos interessa, e vamos fazer isso em função de y. Nesse caso, nós vamos integrar de y igual a... Isto vai cortar este y, este y corta o eixo aqui. ...y = -1. E vamos até y igual a... Digamos que y seja igual a 3. Ou seja, nós vamos variar de y = -1 até y = 3. Isso vai nos dar o volume dessa forma que se parece com uma bola de chiclete de cabeça para baixo. A dica aqui é: para podermos começar a calcular a integral dupla, é ver o que a área de cada um desses discos é em relação a y. Sabemos que A(y) = π vezes (r(y))². No final, a verdadeira dica é: qual é r(y) para qualquer um desses y? Mas o que é r(y)? Bem, vamos pensar um pouco. Que curva é essa? Vamos escrever essa curva em função de y. Se você adicionar 1 de cada lado, eu vou mudar os lados aqui, você tem x² = y + 1. Eu só adicionei 1 de cada lado e troquei os lados da igualdade. Assim, você tem x = √y + 1. Isso, nós podemos escrever como x, ou podemos escrever como f(y). f(y) = √y + 1. Ou ainda, podemos dizer que x = f(y), que é √y + 1. Mas qual seria a distância daqui até qualquer ponto? A distância... Deixa-me colocar isso bem claro. Isso será a nossa distância total na direção horizontal. Essa é a primeira parte, como nós... Vou fazer aqui com outra cor para podermos ver melhor. Esta parte aqui será o valor da função. Isso lhe dará um valor de x, mas então você tem que adicionar 2 para chegar até aqui. Seu raio como função de y será igual a √y + 1. Na realidade, isso vai dar um desses valores de x que fazem parte da curva. Ou seja, esse x como função de y vai te dar um desses valores de x. A partir daí, você adiciona outro 2, assim: mais 2. Outra maneira de fazer, você tem o valor de x aqui, desse valor você tira x = -2. Quando você subtrai x = -2, você adiciona 2 aqui. Eu espero que isso faça sentido. Este é o valor de x. Deixa eu fazer com outra cor. Isto aqui, esta distância aqui é o valor de x quando você calcula a função de y. Adicione +2 para chegar ao centro do nosso eixo de rotação. Novamente, se você pegar um dado y aqui, você vai calcular o y, assim você vai conseguir um valor de x, e esse x te dará essa distância. Se você quer a distância total, você tem que subtrair -2 do valor de x. O que, na verdade, é o mesmo que adicionar 2 para conseguir o valor total do raio. O nosso raio em função de y está aqui. Subtraindo de volta aqui, podemos escrever a integral definida para o nosso volume. O volume será igual à integral definida indo de -1 a 3 de... π vezes r² vezes dy, deixa eu escrever π aqui, já fizemos isso várias vezes, vezes r². Isso será (√y+1 + 2)². Isso é o nosso raio. Claro, vezes dy. Ok, determinamos a integral definida, e agora temos que calcular isso. Isso, eu vou deixar para um outro vídeo, mas peço que você tente fazer isso sozinho antes de assistir ao outro vídeo, ok?