Método do disco para rotação ao redor de uma reta horizontal

RKA2G - Temos aqui a curva que representa "y" igual à raiz quadrada de "x" e vamos agora obter um sólido de revolução a partir dela, mas não rotacionando-a em torno dos eixos "x" ou "y", mas em torno de alguma outra referência qualquer. Neste caso, por exemplo, vamos rotacioná-la ao redor da linha y = 1. A primeira coisa que vamos fazer é visualizar o que temos aqui. Na verdade, antes disso ainda, devemos nos importar com qual intervalo vamos considerar. Vamos combinar que o intervalo que nos interessa aqui é o intervalo que vai deste ponto, onde as linhas se cruzam, até o ponto onde x = 4. Este é o intervalo do gráfico que nós vamos rotacionar. E não vamos rotacionar ao redor do eixo "x", mas ao redor desta reta y = 1. Como vai ficar isto, então? Estamos tratando de rotacionar em torno disto aqui. Então, o que nós vamos obter é algo como isto, lembrando um pouco um cone. É uma forma como esta aqui. Mas agora nós vamos repensar exatamente como obter o volume deste sólido de revolução. Vamos pensar nisso disco por disco, vamos construir um disco bem aqui. Nós já fizemos isso em outras situações. Vamos obter o volume de cada disco para depois somá-los todos. Assim, vamos poder chegar ao volume total. E, para encontrar o volume de cada disco destes, precisamos achar a área desta face e multiplicá-la pela sua profundidade, ou altura, como você queira chamar. Mas, como se trata de um círculo, esta face é um círculo, a sua área é π vezes o seu raio elevado ao quadrado. Qual é o raio deste círculo? Não é a raiz quadrada de "x", porque a raiz quadrada de "x" é a distância do eixo "x" até o gráfico da curva "y" igual à raiz de "x". Aqui nós temos a raiz quadrada de "x", menos 1.. Este comprimento é a raiz quadrada de "x", menos 1, porque nós estamos descontando a distância da reta y = 1 até o eixo "x". Isto para qualquer "x" no intervalo. Isto é, essencialmente, o valor da função para aquele ponto onde estamos considerando, menos 1, que é o valor daquilo em volta do qual estamos girando. Isto, então, é a área da base. Temos que multiplicar pela altura deste cilindro. E altura dele é dx, o elemento dx. Ou seja, o volume de cada um destes discos é: π vezes a raiz quadrada de "x", menos 1, ao quadrado, vezes dx. É isso que queremos somar no intervalo. E o intervalo começa aqui, onde "x" vale 1, porque a raiz quadrada de 1 é 1, até... Já tínhamos combinado no começo... quando x = 4. Cuidado aqui para não confundir a reta y = 1 com o eixo "x". Quando estamos calculando a integral de 1 a 4 de raiz quadrada de x - 1, estamos tomando esta área para depois rotacionar em torno de y = 1. Esta integral definida vai nos dar o volume do sólido de revolução. Agora, temos que calcular esta integral. Reescrevendo a integral, vamos ter o π do lado de fora e eu vou também desenvolver o que está entre parênteses, que é a raiz quadrada de x - 1, tudo ao quadrado, que é a mesma coisa que raiz quadrada de x - 1, vezes raiz quadrada de x - 1. Raiz quadrada de "x" vezes ela mesma resulta em "x". -1 vezes raiz quadrada de "x" dá menos raiz quadrada de "x" e isso se repete de novo aqui no raiz quadrada de "x" vezes -1. E -1 vezes -1 dá + 1. Escrevendo novamente aqui na integral, já de maneira um pouco mais simples, nós vamos ter "x" menos 2 vezes a raiz quadrada de "x", mais 1. E tudo isso vezes dx. Esta é a integral que precisamos calcular. Isto tudo vai ser igual a π vezes toda esta integral. Vamos lá. A antiderivada, ou integral, de "x", é x²/2, menos 2 vezes... Agora a antiderivada da raiz quadrada de "x", lembrando que a raiz quadrada de "x" é "x" elevado a 1/2. Podemos usar a regra da potência para fazer a antiderivada. Então, "x" elevado a 1/2. Aumentando 1 no expoente, vamos ter "x" elevado a 3/2, vezes 2/3. Escrevendo melhor, 2/3 vezes "x" elevado a 3/2. Para fazer mais devagar, este -2 é o quevocê está vendo aqui. E esta expressão bem aqui é a antiderivada da raiz quadrada de "x". Você pode verificar isso facilmente fazendo a derivada de 2/3x elevado a 3/2 e vai voltar para a raiz quadrada de "x". Agora, a primitiva ou antiderivada de 1, que é simplesmente "x". Agora vamos ter que calcular isto para "x" indo de 1 até 4. Vai dar π vezes... Colocando 4 lugar do "x", vamos ter 4²/2, menos... 2 vezes 2/3 fica 4/3. Agora, 4 elevado a 3/2. 4 elevado a 1/2 é a raiz quadrada de 4, que dá 2. E agora, elevado à terceira potência, temos 8, mais o "x", que é 4. Agora, devemos subtrair toda esta expressão com 1 no lugar do "x" Temos os primeiros parênteses indicando quando "x" era 4, menos... E agora, neste segundo par de parênteses, vamos trocar o "x" por 1. Quando "x" vale 1, a primeira fração é 1²/2, que é 1/2. No segundo termo, 1 elevado a qualquer outro expoente é 1, Portanto, ficamos com -4/3, apenas. E o +x é simplesmente +1. Agora vamos simplificar tudo isto aqui. Temos π vezes, abre parênteses: 4² são 16, dividido por 2 = 8. Menos... 4 vezes 8 são 32, sobre 3, mais 4. Agora, já distribuindo o sinal de menos, vamos ter -1/2 menos -4/3, ou seja, +4/3, e -1. Vamos ter π, que mulitplica... Agora vamos achar o MMC de todos os denominadores, que é 6. Arrumando os numeradores, 8 é a mesma coisa que 48/6. Aqui o denominador era 3, então, vamos ter que multiplicar por 2 para ficar equivalente, vamos ter 64. Mais... O 4 vai se tornar 24/6, então aqui é 24. Menos... 1/2, o denominador era 2. Multiplicado por 3 para chegar em 6, então, o numerador fica 3. Mais... O 4 também vai ser multiplicado por 2. Vai ser 8. E -1 vezes 6 são -6. Agora só mais um pouquinho de aritmética aqui para ver onde chegamos. 48 - 64 são -16. -16 + 24 são 8 positivos. 8 - 3 = 5, mais 8 são 13, e menos 6 são 7, sobre 6. Ou seja, este volume que estamos procurando é 7π/6. Com isso, concluímos e calculamos o volume deste sólido de revolução. Até o próximo vídeo!