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Introdução ao comprimento do arco

Podemos usar integrais definidas para encontrar o comprimento de uma curva. Veja como isso é feito e desenvolva alguns raciocínios de por que a fórmula funciona.

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  • Avatar mr pink orange style do usuário Alexandre Azevedo
    porque o dy dentro da raiz quadrada se transforma em 1 + dy/dx
    (1 voto)
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Transcrição de vídeo

nós vemos em outros vídeos como pregar área sobre uma curva através da integral nossa preocupação nesse vídeo é saber o cumprimento desse arco nós podemos pegar o cumprimento infinitesimal uma pequena parte desse arco essa pequena parte vamos chamar de ds e obviamente de um ponto até outro vamos chamar de a até o ponto b nós podemos somar vários comprimentos de s até que consigamos o arco completo você já não queremos saber a distância desse ponto a para o ponto b mas queremos saber o cumprimento desse arco como é que nós podemos fazer isso de uma maneira seria você pegar e fazer integral desse ponto de s não existe aqui no mesmo muita coisa porque está em função de ds e não em função de x nem função de y como a gente está pegando a pequena parte vamos até aumentar para ficar mais claro vamos pegar uma parte aqui maior e pegamos uma variação no eixo x uma variação no eixo y ou seja uma pequena variação do eixo x é uma pequena variação no eixo y então podemos escrever aqui através de pitágoras como sendo a integral da raiz quadrada de deixe ao quadrado mais de y ao quadrado raiz quadrada e isso nos vai dar exatamente o 10 bem agora como é que podemos colocar isso em função da função que conhecemos podemos colocar o dx em evidência e ficamos com the xx ao quadrado vezes mais de y dx ao quadrado isso daqui se você abrir vai voltar a te deixes um quadrado mais de y quadrado e se deixe seu quadrado nós podemos tirar radical e temos nossa integral nós temos a integral da raiz quadrada de um mais de y de x ao quadrado de x e agora nós podemos integrar sabendo nossa função dele vamos nessa função é levamos ao quadrado e temos aqui a nossa forma geral e podemos ir de a atb podemos escrever de outra maneira podemos escrever diaa tb da raiz quadrada de ram mais a derivada df em relação à x ao quadrado de x essa não é uma prova rigorosa mas é a maneira que nós calculamos o arco de a atb quando nós sabemos nossa função fx nós devamos a função é levamos ao quadrado e pela raiz quadrada na integração definida de até bdx nós podemos achar o tamanho deste arco completamente