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Cálculo Avançado BC
Curso: Cálculo Avançado BC > Unidade 8
Lição 13: O comprimento de arco de uma curva plana suave e distância percorridaIntrodução ao comprimento do arco
Podemos usar integrais definidas para encontrar o comprimento de uma curva. Veja como isso é feito e desenvolva alguns raciocínios de por que a fórmula funciona.
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- porque o dy dentro da raiz quadrada se transforma em 1 + dy/dx(1 voto)
- Ele pôs o (dx)^2 em evidência. Esse 1 + dy/dx é o que sobrou da divisão dos termos por dx.(3 votos)
Transcrição de vídeo
RKA10MP – Vimos em outros vídeos como pegar
a área sob uma curva através da integral. Nossa preocupação neste vídeo
é saber o comprimento deste arco. Podemos pegar o comprimento infinitesimal,
uma pequena parte deste arco. Esta pequena parte
vamos chamar de ds. E, obviamente, de um ponto até outro,
vamos chamar de “a” até o ponto “b”, podemos somar
vários comprimentos ds até que consigamos
o arco completo. Ou seja, não queremos saber a distância
deste ponto “a” para o ponto “b”, mas queremos saber o comprimento
deste arco. E como é que podemos fazer isso? Uma maneira seria você pegar
e fazer a integral deste ponto ds, mas isso não me diz muita coisa porque está em função de ds e não em função
de “x” nem em função de “y”. Como a gente está pegando
uma pequena parte, vamos aumentar para ficar mais claro
e pegar uma parte maior, e pegamos uma variação no eixo “x”
e uma variação no eixo “y”, ou seja, uma pequena variação no eixo “x”
e uma pequena variação no eixo “y”. Então podemos escrever através
de Pitágoras como sendo a integral da raiz quadrada de (dx)² mais (dy)², e isso vai nos dar exatamente o ds. E agora como podemos colocar isso
em função da função que conhecemos? Podemos colocar o dx em evidência
e ficamos com (dx)² vezes (1 + (dy/dx)²). Isso daqui, se você abrir,
vai voltar a ter (dx)² + (dy)². Este (dx)² podemos tirar do radical
e temos nossa integral. Temos a integral da raiz
quadrada de 1 mais (dy/dx)² dx. E agora podemos integrar, e sabendo
nossa função, derivamos esta função, elevamos ao quadrado, temos a nossa
fórmula geral e podemos ir de “a” até “b”. Podemos escrever de outra maneira,
podemos escrever de “A” até “B”, da raiz quadrada de 1 mais a derivada de f em relação a "x",
ao quadrado, dx. Esta não é uma prova rigorosa,
mas é a maneira que calculamos o arco de “a” até “b”,
e quando sabemos nossa função f(x), derivamos a função,
elevamos ao quadrado e pela raiz quadrada na integração
definida de “a” até “b” dx, podemos achar o tamanho
deste arco completamente.